ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมด

โดย ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน สิงหาคม 5, 2023 สถิติ 0 ความคิดเห็น

บทความนี้จะอธิบายว่าค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดคืออะไร คุณจะได้เรียนรู้วิธีหาค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมด วิธีใช้ค่าเหล่านี้ และความแตกต่างระหว่างการวัดทางสถิติทั้งสามนี้ นอกจากนี้ คุณจะสามารถคำนวณค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดของตัวอย่างทางสถิติใดๆ ด้วยเครื่องคิดเลขออนไลน์ในตอนท้าย

ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดคืออะไร?

ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดเป็นการวัดทางสถิติของตำแหน่งศูนย์กลาง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมด คือค่าที่ช่วยกำหนดตัวอย่างทางสถิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าเหล่านี้บ่งชี้ว่าค่ากลางคืออะไร

ค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมด มีการกำหนดไว้ดังนี้:

Mean : คือค่าเฉลี่ยของข้อมูลทั้งหมดในกลุ่มตัวอย่าง
ค่ามัธยฐาน : คือค่ากลางของข้อมูลทั้งหมดโดยเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก
Mode : นี่คือค่าที่ซ้ำกันมากที่สุดในชุดข้อมูล

มาตรการทางสถิติทั้งสามนี้มีการอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง

ครึ่ง

ในการ คำนวณค่าเฉลี่ย ให้บวกค่าทั้งหมดแล้วหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด สูตรสำหรับค่าเฉลี่ยจึงเป็นดังนี้:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}$

👉 คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขด้านล่างเพื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดของชุดข้อมูลใดก็ได้

สัญลักษณ์เฉลี่ยคือแถบแนวนอนเหนือตัวอักษร x

$(\overline{x}).$

คุณยังสามารถแยกความแตกต่างของค่าเฉลี่ยตัวอย่างจากค่าเฉลี่ยประชากรด้วยสัญลักษณ์ค่าเฉลี่ยได้ โดยค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างจะแสดงด้วยสัญลักษณ์

$\overline{x}$

ในขณะที่ค่าเฉลี่ยของประชากรใช้อักษรกรีก

$\mu.$

ค่าเฉลี่ยเรียกอีกอย่างว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือ ค่าเฉลี่ย นอกจากนี้ ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงทางสถิติยังเทียบเท่ากับค่าคาดหวังทางคณิตศาสตร์อีกด้วย

ตัวอย่างโดยเฉลี่ย

นักเรียนได้เกรดต่อไปนี้ในระหว่างปีการศึกษา: ในวิชาคณิตศาสตร์ ได้ 9 คะแนน, ในภาษา 7 คะแนน, ประวัติศาสตร์ 6 คะแนน, เศรษฐศาสตร์ 8 คะแนน และวิทยาศาสตร์ 7.5 คะแนน เกรดเฉลี่ยทั้งหมดของคุณคือเท่าไร?

ในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต เราต้องบวกเกรดทั้งหมดเข้าด้วยกันแล้วหารด้วยจำนวนวิชาทั้งหมดในรายวิชาซึ่งก็คือ 5 ดังนั้นเราจึงใช้สูตรค่าเฉลี่ยเลขคณิตดังนี้

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}$

เราแทนที่ข้อมูลลงในสูตรและคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

$\overline{x}=\cfrac{9+7+5+8+7,5}{5}=7,3$

อย่างที่คุณเห็นในค่าเฉลี่ยเลขคณิต แต่ละค่ามีน้ำหนักเท่ากัน กล่าวคือ ข้อมูลแต่ละชิ้นมีน้ำหนักเท่ากันภายในข้อมูลทั้งหมด

ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐาน คือค่ากลางของข้อมูลทั้งหมดโดยเรียงลำดับจากน้อยไปหามาก กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่ามัธยฐานจะแบ่งชุดข้อมูลที่เรียงลำดับออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน

การคำนวณค่ามัธยฐานขึ้นอยู่กับว่าจำนวนข้อมูลทั้งหมดเป็นเลขคู่หรือคี่:

หากจำนวนข้อมูลทั้งหมดเป็นเลข คี่ ค่ามัธยฐานจะเป็นค่าที่อยู่ตรงกลางข้อมูล กล่าวคือค่าที่อยู่ในตำแหน่ง (n+1)/2 ของข้อมูลที่เรียงลำดับ

$Me=x_{\frac{n+1}{2}$

หากจำนวนจุดข้อมูลทั้งหมดเป็น เลขคู่ ค่ามัธยฐานจะเป็นค่าเฉลี่ยของจุดข้อมูล 2 จุดที่อยู่ตรงกลาง กล่าวคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่พบในตำแหน่ง n/2 และ n/2+1 ของข้อมูลที่เรียงลำดับ

$Me=\cfrac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

ทอง

$n$

คือจำนวนรายการข้อมูลทั้งหมดในกลุ่มตัวอย่าง

คำว่า ฉัน มักใช้เป็นสัญลักษณ์เพื่อระบุว่าค่าเป็นค่ามัธยฐานของการสังเกตทั้งหมด

ตัวอย่างค่ามัธยฐาน

ค้นหาค่ามัธยฐานของข้อมูลต่อไปนี้: 3, 4, 1, 6, 7, 4, 8, 2, 8, 4, 5

สิ่งแรกที่ต้องทำก่อนทำการคำนวณคือการจำแนกข้อมูล นั่นคือ เราใส่ตัวเลขจากน้อยไปหามาก

$1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 4 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 8$

ในกรณีนี้ เรามีข้อสังเกต 11 รายการ ดังนั้นจำนวนข้อมูลทั้งหมดจึงเป็นเลขคี่ ดังนั้นเราจึงใช้สูตรต่อไปนี้เพื่อคำนวณตำแหน่งของค่ามัธยฐาน:

$\cfrac{n+1}{2}=\cfrac{11+1}{2}=6$

ค่ามัธยฐานจึงเป็นข้อมูลที่อยู่ในตำแหน่งที่ 6 ซึ่งในกรณีนี้จะสอดคล้องกับค่า 4

$Me=x_6=4$

แฟชั่น

ในสถิติ โหมด คือค่าในชุดข้อมูลที่มีความถี่สัมบูรณ์สูงสุด กล่าวคือ โหมดคือค่าที่ซ้ำกันมากที่สุดในชุดข้อมูล

ดังนั้น ในการคำนวณโหมดของชุดข้อมูลทางสถิติ เพียงนับจำนวนครั้งที่แต่ละองค์ประกอบข้อมูลปรากฏในตัวอย่าง และข้อมูลที่ซ้ำกันมากที่สุดจะเป็นโหมด

โหมดนี้อาจกล่าวได้ว่าเป็น โหมดทางสถิติ หรือ ค่ากิริยา ช่วย ในทำนองเดียวกัน เมื่อข้อมูลถูกจัดกลุ่มเป็นช่วงเวลา ช่วงเวลาที่เกิดซ้ำมากที่สุดคือ ช่วงโมดอล หรือ คลาสโมดอล

โดยทั่วไป คำว่า Mo ถูกใช้เป็นสัญลักษณ์สำหรับโหมดทางสถิติ ตัวอย่างเช่น โหมดการกระจาย X คือ Mo(X)

โหมดสามประเภทสามารถแยกแยะได้ตามจำนวนค่าที่ซ้ำกันมากที่สุด:

โหมด Unimodal : มีเพียงค่าเดียวเท่านั้นที่มีจำนวนการทำซ้ำสูงสุด ตัวอย่างเช่น [1, 4, 2, 4, 5, 3]
โหมด Bimodal : จำนวนการทำซ้ำสูงสุดเกิดขึ้นที่ค่าที่แตกต่างกันสองค่า และค่าทั้งสองจะถูกทำซ้ำในจำนวนครั้งเท่ากัน ตัวอย่างเช่น [2, 6, 7, 2, 3, 6, 9]
โหมดมัลติโมดัล : ค่าตั้งแต่สามค่าขึ้นไปมีจำนวนการทำซ้ำสูงสุดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น [3, 3, 4, 1, 3, 4, 2, 1, 4, 5, 2, 1]

ตัวอย่างแฟชั่น

โหมดของชุดข้อมูลต่อไปนี้คืออะไร?

$5 \ 4 \ 9 \ 7 \ 2 \ 3 \ 9 \ 6 \ 5 \ 2 \ 5$

ตัวเลขไม่เรียงลำดับ ดังนั้นสิ่งแรกที่เราจะทำคือเรียงลำดับมัน ขั้นตอนนี้ไม่บังคับแต่จะช่วยให้คุณค้นหาแฟชั่นได้ง่ายขึ้น

$2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 7 \ 9 \ 9$

ตัวเลข 2 และ 9 ปรากฏสองครั้ง แต่เลข 5 ซ้ำสามครั้ง ดังนั้นโหมดของชุดข้อมูลจึงเป็นหมายเลข 5

$Mo=5$

แก้แบบฝึกหัดของค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมด

ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดคืออะไร ด้านล่างนี้คือแบบฝึกหัดโดยละเอียดเกี่ยวกับการวัดทางสถิติเหล่านี้ เพื่อให้คุณเห็นว่าค่าเหล่านี้ถูกคำนวณอย่างไร

ค้นหาค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมดของชุดข้อมูลทางสถิติต่อไปนี้:

$8 \ 7 \ 0 \ 6 \ 10 \ 9 \ 13 \ 8 \ 0 \ 6 \ 2 \ 6 \ 5 \ 11 \ 10$

$0 \ 9 \ 8 \ 6 \ 12 \ 3 \ 5 \ 11 \ 1 \ 4 \ 8 \ 10 \ 2 \ 5 \ 7$

ในการหาค่าเฉลี่ยของข้อมูล เราต้องบวกทั้งหมดเข้าด้วยกัน แล้วหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมดซึ่งก็คือ 30:

$\displaystyle\overline{x}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^N x_i}{N}=\frac{192}{30}=6,4$

อย่างที่สอง ลองหาค่ามัธยฐานตัวอย่างกัน ดังนั้นเราจึงเรียงลำดับตัวเลขทั้งหมดจากน้อยไปหามาก:

$0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 2 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 5 \ 5 \ 6 \ 6 \ 6 \ 6$

$7 \ 7 \ 8 \ 8 \ 8 \ 8 \ 9 \ 9 \ 10 \ 10 \ 10 \ 11 \ 11 \ 12 \ 13$

ในกรณีนี้ จำนวนข้อมูลทั้งหมดเป็นเลขคู่ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณตำแหน่งศูนย์กลางสองตำแหน่งที่จะหาค่ามัธยฐานระหว่างนั้น สำหรับสิ่งนี้ เราใช้สองสูตรต่อไปนี้:

$\cfrac{n}{2}=\cfrac{30}{2}=15$

$\cfrac{n}{2}+1=\cfrac{30}{2}+1=16$

ค่ามัธยฐานจะอยู่ระหว่างตำแหน่งที่สิบห้าถึงสิบหกซึ่งสอดคล้องกับค่า 6 และ 7 ตามลำดับ แม่นยำยิ่งขึ้นค่ามัธยฐานจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของค่าเหล่านี้:

$Me=\cfrac{x_{15}+x_{16}}{2}=\cfrac{6+7}{2}=6,5$

สุดท้ายนี้ เพื่อที่จะค้นหาโหมดนี้ คุณเพียงแค่ต้องนับทุกครั้งที่แต่ละตัวเลขปรากฏ ดังที่คุณเห็น หมายเลข 6 และหมายเลข 8 ปรากฏทั้งหมดสี่ครั้ง ซึ่งเป็นจำนวนซ้ำสูงสุด ดังนั้น ในกรณีนี้ จะเป็นโหมด bimodal และตัวเลขสองตัวคือโหมดของชุดข้อมูล:

$Mo=\{ 6 \ ; \ 8\}$

เครื่องคิดเลขเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมด

ป้อนข้อมูลจากตัวอย่างทางสถิติลงในเครื่องคำนวณออนไลน์ต่อไปนี้เพื่อคำนวณค่าเฉลี่ย ค่ามัธยฐาน และโหมด ข้อมูลต้องคั่นด้วยช่องว่างและป้อนโดยใช้จุดเป็นตัวคั่นทศนิยม

เกี่ยวกับผู้แต่ง

ดร.เบนจามิน แอนเดอร์สัน

สวัสดี ฉันชื่อเบนจามิน ศาสตราจารย์สถิติเกษียณอายุแล้ว และผันตัวมาเป็นครูสอนสถิติโดยเฉพาะ ด้วยประสบการณ์และความเชี่ยวชาญที่กว้างขวางในสาขาสถิติ ฉันกระตือรือร้นที่จะแบ่งปันความรู้ของฉันเพื่อเสริมศักยภาพนักเรียนผ่าน Statorials. รู้เพิ่มเติม