Asimetri katsayısı

Bu makalede asimetri katsayısının ne olduğu, nasıl hesaplandığı ve nasıl yorumlanacağı anlatılmaktadır. Somut olarak istatistikte en çok kullanılan üç tür asimetri katsayısının nasıl hesaplanacağını keşfedeceksiniz.

Asimetri katsayısı nedir?

İstatistikte asimetri katsayısı , bir dağılımın asimetrisini hesaplamanızı sağlayan bir katsayıdır. Yani çarpıklık katsayısı, bir fonksiyonun pozitif çarpık, negatif çarpık veya simetrik olup olmadığını belirlemek için kullanılır.

Asimetri katsayısı aynı zamanda asimetri indeksi olarak da adlandırılabilir.

Bir dağılımın çarpıklığının eğrinin şekline bağlı olduğunu unutmayın. Dolayısıyla farklı asimetri türleri şunlardır:

  • Pozitif çarpıklık : Dağılımın ortalamanın sağında, solunda olduğundan daha farklı değerleri vardır.
  • Negatif çarpıklık : Dağılımın ortalamanın solunda sağına göre daha farklı değerleri vardır.
  • Simetri : Dağılım, ortalamanın solunda ve sağında aynı sayıda değere sahiptir.
asimetri türleri

Temel olarak duruma bağlı olarak üç tip asimetri katsayısı kullanılır: Fisher katsayısı, Pearson katsayısı ve Bowley katsayısı. Her bir çarpıklık katsayısının nasıl hesaplanacağı aşağıda ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Fisher’in asimetri katsayısı

Fisher’in çarpıklık katsayısı, ortalamaya göre üçüncü momentin numune standart sapmasına bölünmesine eşittir. Bu nedenle Fisher’in asimetri katsayısının formülü şöyledir:

\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}

Eşdeğer olarak, Fisher katsayısını hesaplamak için aşağıdaki iki formülden herhangi biri kullanılabilir:

\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}

\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}

Altın

E

matematiksel beklenti,

\mu

aritmetik ortalama,

\sigma

standart sapma ve

N

toplam veri sayısı.

Öte yandan veriler gruplandırılmışsa aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}

Bu durumda nerede

x_i

Bu sınıf işaretidir ve

f_i

kursun mutlak sıklığı.

Değeri hesaplandıktan sonra Fisher asimetri katsayısının yorumu şu şekildedir:

  • Fisher’in çarpıklık katsayısı pozitif ise dağılım pozitif çarpıktır.
  • Fisher’in çarpıklık katsayısı negatif ise dağılım negatif çarpıktır.
  • Dağılım simetrik ise Fisher’in asimetri katsayısı sıfıra eşittir. Bunun tersi doğru değildir, yani Fisher katsayısının sıfır olması her zaman dağılımın simetrik olduğu anlamına gelmez.

Pearson’un asimetri katsayısı

Pearson çarpıklık katsayısı, örnek ortalama ile mod arasındaki farkın standart sapmaya (veya standart sapmaya) bölünmesine eşittir. Pearson asimetri katsayısının formülü bu nedenle aşağıdaki gibidir:

A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}

Altın

A_p

Pearson katsayısıdır,

\mu

aritmetik ortalama,

Mo

moda ve

\sigma

Standart sapma.

Pearson çarpıklık katsayısının yalnızca tek modlu bir dağılım olması, yani verilerde yalnızca bir mod olması durumunda hesaplanabileceğini unutmayın.

Bazı istatistik kitaplarında Pearson çarpıklık katsayısı mod yerine medyan kullanılarak hesaplanır ancak genel olarak yukarıdaki formül kullanılır.

Pearson asimetri katsayısı hesaplandıktan sonra değeri aşağıdaki kurallara göre yorumlanmalıdır:

  • Pearson çarpıklık katsayısının pozitif olması dağılımın pozitif çarpık olduğu anlamına gelir.
  • Pearson çarpıklık katsayısının negatif olması dağılımın negatif çarpık olduğu anlamına gelir.
  • Pearson çarpıklık katsayısının sıfır olması dağılımın simetrik olduğu anlamına gelir.

Bowley’in asimetri katsayısı

Bowley’in çarpıklık katsayısı, üçüncü çeyrek artı birinci çeyrek eksi medyanın iki katının toplamının üçüncü ve birinci çeyrekler arasındaki farka bölünmesine eşittir. Dolayısıyla bu asimetri katsayısının formülü aşağıdaki gibidir:

A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}

Altın

Q_1

Ve

Q_3

Bunlar sırasıyla birinci ve üçüncü çeyreklerdir ve

Me

dağılımın medyanıdır.

Bir dağılımın medyanının ikinci çeyrekle çakıştığını hatırlayın.

Bowley katsayısının yorumlanması önceki iki tip asimetri katsayısıyla aynı şekilde yapılır:

  • Bowley çarpıklık katsayısı pozitif ise dağılım pozitif çarpıktır.
  • Bowley’in çarpıklık katsayısı negatif ise dağılım negatif çarpıktır.
  • Bowley’in çarpıklık katsayısı sıfır ise dağılım simetriktir.

Yorum ekle

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir