Normal binom yaklaşımı: tanım ve örnek

Eğer _ _ _ _ _

• µ = np
• σ = √ np(1-p)

Eğer n yeterince büyükse, binom dağılımıyla ilgili olasılıklara yaklaşmak için normal dağılımı kullanabiliriz. Buna normal binom yaklaşımı denir.

N’nin “yeterince büyük” olması için aşağıdaki kriterleri karşılaması gerekir:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Her iki kriter de karşılandığında, binom dağılımıyla ilgili olasılık sorularını yanıtlamak için normal dağılımı kullanabiliriz.

Ancak normal dağılım sürekli bir olasılık dağılımı iken binom dağılımı ayrık bir olasılık dağılımıdır, dolayısıyla olasılıkları hesaplarken süreklilik düzeltmesi uygulamamız gerekir.

Basitçe söylemek gerekirse süreklilik düzeltmesi , ayrık bir x değerine 0,5 ekleme veya çıkarma işlemine verilen addır.

Örneğin, bir paranın 100 atışta 45 defadan az veya eşit tura gelme olasılığını bulmak istediğimizi varsayalım. Yani P(X ≤ 45)’i bulmak istiyoruz. Binom dağılımına yaklaşmak amacıyla normal dağılımı kullanmak için bunun yerine P(X ≤ 45,5) buluruz.

Aşağıdaki tablo, bulmaya çalıştığınız olasılık türüne bağlı olarak ne zaman 0,5 eklemeniz veya çıkarmanız gerektiğini gösterir:

Aşağıdaki adım adım örnek, binom dağılımına yaklaşmak için normal dağılımın nasıl kullanılacağını gösterir.

Örnek: binomun normal yaklaşımı

Bir madeni paranın 100 atışta 43 veya daha az kez tura gelme olasılığını bilmek istediğimizi varsayalım.

Bu durumda aşağıdaki değerlere sahibiz:

• n (deneme sayısı) = 100
• X (başarı sayısı) = 43
• p (belirli bir denemede başarı olasılığı) = 0,50

Paranın 43 veya daha az tura gelme olasılığını hesaplamak için aşağıdaki adımları kullanabiliriz:

Adım 1: Örnek boyutunun normal yaklaşımı kullanacak kadar büyük olduğunu doğrulayın.

Öncelikle aşağıdaki kriterlerin karşılanıp karşılanmadığını kontrol etmemiz gerekiyor:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Bu durumda elimizde:

• np = 100*0,5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0,5) = 100*0,5 = 50

Her iki sayı da 5’ten büyüktür, dolayısıyla normal yaklaşımı güvenle kullanabiliriz.

Adım 2: Uygulanacak süreklilik düzeltmesini belirleyin.

Yukarıdaki tabloya bakıldığında X ≤ 43 şeklinde olasılık ile çalışırken 0,5 eklememiz gerektiğini görüyoruz. Böylece P(X< 43,5) bulacağız.

Adım 3: Binom dağılımının ortalamasını (μ) ve standart sapmasını (σ) bulun.

µ = n*p = 100*0,5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

Adım 4: Önceki adımda bulunan ortalama ve standart sapmayı kullanarak z-puanını bulun.

z = (x – μ) / σ = (43,5 – 50) / 5 = -6,5 / 5 = -1,3.

Adım 5: Z puanıyla ilişkili olasılığı bulun.

-1,3’ün solundaki standart normal eğrinin altındaki alanın 0,0968 olduğunu bulmak için normal CDF hesaplayıcısını kullanabiliriz.

Yani bir paranın 100 atışta 43 kereden az veya eşit tura gelme olasılığı 0,0968’dir .

Bu örnek aşağıdakileri göstermektedir:

• Rastgele bir değişkenin binom dağılımını takip ettiği bir durumla karşılaştık.
• Bu rastgele değişkenin belirli bir değer alma olasılığını bulmak istedik.
• Örneklem büyüklüğü (n = 100 deneme) yeterince büyük olduğundan, binom dağılımına yaklaşmak için normal dağılımı kullanabildik.

Bu, binom dağılımıyla ilgili olasılıkları bulmak için normal yaklaşımın nasıl kullanılacağına dair tam bir örnektir.