Üstel dağılıma 4 gerçek örnek

Üstel dağılım, belirli bir olay gerçekleşene kadar beklememiz gereken süreyi modellemek için kullanılan bir olasılık dağılımıdır.

Eğer bir X rastgele değişkeni üstel bir dağılım izliyorsa, X’in kümülatif yoğunluk fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

Altın:

• λ: oran parametresi (λ = 1/μ olarak hesaplanır)
• e: Yaklaşık olarak 2,718’e eşit bir sabit

Bu yazımızda gerçek hayattan 5 üstel dağılım örneğini paylaşıyoruz.

Örnek 1: Şofben patlamaları arasındaki süre

Belirli bir gayzerin patlamaları arasındaki dakika sayısı üstel dağılımla modellenebilir.

Örneğin, belirli bir gayzerin patlamaları arasındaki ortalama dakika sayısının 40 dakika olduğunu varsayalım. Eğer bir gayzer patlarsa, bir sonraki patlama için 50 dakikadan daha az beklemek zorunda kalma olasılığımız nedir?

Bu sorunu çözmek için öncelikle oran parametresini hesaplamamız gerekir:

• λ = 1/μ
• λ = 1/40
• λ = 0,025

λ = 0,025 ve x = 50’yi CDF formülüne koyabiliriz:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0,025(50)
• P(X ≤ 50) = 0,7135

Bir sonraki patlama için 50 dakikadan az beklemek zorunda kalma olasılığımız 0,7135’tir .

Örnek 2: Müşteriler Arasındaki Süre

Belirli bir mağazaya giren müşterilerin arasındaki dakika sayısı üstel dağılımla modellenebilir.

Örneğin ortalama her iki dakikada bir yeni bir müşterinin mağazaya girdiğini varsayalım. Bir müşteri geldikten sonra, yeni bir müşterinin bir dakikadan daha kısa sürede gelme olasılığını belirleyin.

Bunu çözmek için istemciler arasındaki ortalama sürenin iki dakika olduğunu bilerek başlayabiliriz. Böylece oran şu şekilde hesaplanabilir:

• λ = 1/μ
• λ = 1/2
• λ = 0,5

λ = 0,5 ve x = 1’i CDF formülüne koyabiliriz:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,5(1)
• P(X ≤ 1) = 0,3935

Bir sonraki müşterinin gelmesi için bir dakikadan az beklemek zorunda kalma olasılığımız 0,3935’tir .

Örnek 3: Depremler arasındaki süre  

Depremler arasındaki süre üstel dağılım kullanılarak modellenebilir.

Örneğin belli bir bölgede ortalama 400 günde bir deprem meydana geldiğini varsayalım. Bir depremden sonra bir sonraki depremin oluşmasına 500 günden fazla zaman geçmesi olasılığını belirleyin.

Bu sorunu çözmeye depremler arasındaki ortalama sürenin 400 gün olduğunu bilerek başlıyoruz. Böylece oran şu şekilde hesaplanabilir:

• λ = 1/μ
• λ = 1/400
• λ = 0,0025

λ = 0,0025 ve x = 500’ü CDF formülüne koyabiliriz:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0,7135

Bir sonraki deprem için 500 günden az beklemek zorunda kalma olasılığımız 0,7135’tir.

Yani bir sonraki deprem için 500 günden fazla beklemek zorunda kalma ihtimalimiz 1 – 0,7135 = 0,2865 .

Örnek 4: aramalar arasındaki süre

Farklı şirketlerdeki müşteri aramaları arasındaki süre, üstel dağılım kullanılarak modellenebilir.

Örneğin bir bankanın ortalama her 10 dakikada bir yeni bir çağrı aldığını varsayalım. Bir müşteri aradıktan sonra, yeni bir müşterinin 10 ila 15 dakika içinde arama olasılığını belirleyin.

Bunu çözmek için çağrılar arasındaki ortalama sürenin 10 dakika olduğunu bilerek başlıyoruz. Böylece oran şu şekilde hesaplanabilir:

• λ = 1/μ
• λ = 1/10
• λ = 0,1

Yeni bir müşterinin 10-15 dakika içinde arama olasılığını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0,1(15) ) – (1 – e ^-0,1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
• P(10 < X ≤ 15) = 0,1448

Yeni bir müşterinin 10-15 dakika içinde arama olasılığı. 0,1448’dir .

Ek kaynaklar

Aşağıdaki makaleler diğer olasılık dağılımlarının gerçek dünyada nasıl kullanıldığına dair örnekler sunmaktadır:

Normal dağılımın 6 somut örneği
Binom dağılımının 5 somut örneği
Poisson dağılımının 5 somut örneği
Geometrik dağılıma 5 somut örnek
Düzgün dağılıma 5 somut örnek