Bernoulli dağılımı

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 4, 2023 Olasılık 0 Yorum

Bu makalede Bernoulli dağılımının ne olduğu ve formülünün ne olduğu açıklanmaktadır. Ek olarak Bernoulli dağılımının özelliklerini ve anlamını daha iyi anlamanızı sağlayacak çözülmüş bir alıştırmayı bulacaksınız.

Bernoulli dağılımı nedir?

İkili dağılım olarak da bilinen Bernoulli dağılımı , yalnızca iki sonuca sahip olabilen ayrı bir değişkeni temsil eden bir olasılık dağılımıdır: “başarı” veya “başarısızlık”.

Bernoulli dağılımında “başarı” beklediğimiz sonuçtur ve 1 değerine sahipken, “başarısızlık” sonucu beklenenin dışında bir sonuçtur ve 0 değerine sahiptir. başarı” p , “başarısızlık” sonucunun olasılığı q=1-p’dir .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

Bernoulli dağılımı ismini İsviçreli istatistikçi Jacob Bernoulli’den almıştır.

İstatistikte, Bernoulli dağılımının esas olarak tek bir uygulaması vardır: yalnızca iki olası sonucun (başarı ve başarısızlık) olduğu deneylerin olasılıklarını tanımlamak. Dolayısıyla Bernoulli dağılımını kullanan bir deneye Bernoulli testi veya Bernoulli deneyi denir.

Bernoulli dağılım formülü

Eğer p , “başarı” sonucunun ortaya çıkma olasılığı ise, Bernoulli dağılımının olasılığı p’nin x’e yükseltilmesiyle 1-p’nin 1-x’e yükseltilmesine eşittir. Böylece Bernoulli dağılımının olasılıkları aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir :

Bernoulli dağılımında x’in değerinin yalnızca 0 (başarısızlık) veya 1 (başarı) olabileceğini unutmayın.

Öte yandan önceki formül aşağıdaki eşdeğer ifade kullanılarak da yazılabilir:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

Bernoulli dağılımı örneği

Artık Bernoulli dağılımının tanımını ve formülünün ne olduğunu bildiğimize göre, Bernoulli dağılımının somut bir örneğini görelim.

Bir oyunu kazanmak için bir oyuncunun zar atması ve 2 alması gerekir, aksi takdirde başka bir oyuncu oyunu kazanır ve dolayısıyla oyun kaybedilir. Başarı ve başarısızlık olasılığını hesaplayın.

Bir zarın altı olası sonucu vardır (1, 2, 3, 4, 5, 6), dolayısıyla bu durumda deneyin örnek uzayı şöyledir:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

Bizim durumumuzda, başarının tek durumu iki numarayı elde etmektir, dolayısıyla Laplace kuralını uygularken başarı olasılığı birin olası sonuçların toplam sayısına bölünmesine eşittir (6):

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

Öte yandan, zar atıldığında başka bir sayı ortaya çıkarsa, oyuncu oyunu kaybedeceği için deneyin sonucu başarısızlık olarak kabul edilecektir. Dolayısıyla bu olasılık, daha önce hesaplanan olasılığın bir eksiğine eşittir:

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

Kısaca bu deneyin Bernoulli dağılımı aşağıdaki ifadeyle tanımlanır:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

Aşağıda görebileceğiniz gibi Bernoulli dağılımının olasılıkları yukarıda görülen formülün uygulanmasıyla da bulunabilir:

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

Bernoulli dağılımının özellikleri

Aşağıda Bernoulli dağılımının en önemli özellikleri verilmiştir.

Bernoulli dağılımı yalnızca 1 (başarılı) veya 0 (başarısız) değerini alabilir.

$x=\{0\ ; 1\}$

Bernoulli dağılımının ortalaması “başarı” sonucunun ortaya çıkma olasılığına eşdeğerdir.

$E[X]=p$

Bernoulli dağılımının varyansı, “başarı” ve “başarısızlık” sonucunun ortaya çıkma olasılıklarının çarpılmasıyla hesaplanabilir. Veya eşdeğer olarak varyans p çarpı 1-p’dir .

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

Bernoulli dağılımının modunun değeri “başarı” ve “başarısızlık” olasılıklarına bağlıdır. Dolayısıyla bu tür dağıtımın modu aşağıdaki ifadeyle tanımlanır:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...> The formula for the probability function
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

Öte yandan Bernoulli dağılımının kümülatif olasılık fonksiyonu aşağıdaki ifadeyle tanımlanır:

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

Bir Bernoulli dağılımının asimetri katsayısı aşağıdaki ifadeyle hesaplanır:

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

Benzer şekilde Bernoulli dağılımının basıklığı p parametresinin değerine bağlıdır ve aşağıdaki formülün uygulanmasıyla bulunabilir:

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

Bernoulli dağılımı ve binom dağılımı

Bu bölümde Bernoulli dağılımı ile binom dağılımı arasındaki farkı göreceğiz çünkü bunlar iki tür ilgili olasılık dağılımıdır.

Binom dağılımı, bir dizi Bernoulli denemesinden elde edilen “başarılı” sonuçların sayısını sayar. Bu Bernoulli deneyleri bağımsız olmalı ancak aynı başarı olasılığına sahip olmalıdır.

Bu nedenle, binom dağılımı Bernoulli dağılımını takip eden ve tümü aynı p parametresi ile tanımlanan bir dizi değişkenin toplamıdır .

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

Yani Bernoulli dağılımında yalnızca bir Bernoulli deneyi varken, binom dağılımında bir dizi Bernoulli deneyi var.

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil