Sürekli olasılık dağılımı

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 3, 2023 Olasılık 0 Yorum

Bu makalede sürekli olasılık dağılımlarının ne olduğu ve istatistikte ne için kullanıldığı açıklanmaktadır. Böylece bir olasılık dağılımının sürekli olmasının ne anlama geldiğini, sürekli dağılım örneklerini ve farklı sürekli dağılım türlerinin neler olduğunu keşfedeceksiniz.

Sürekli olasılık dağılımı nedir?

Sürekli bir olasılık dağılımı, dağılım fonksiyonu sürekli olan bir dağılımdır. Bu nedenle sürekli bir olasılık dağılımı, sürekli bir rastgele değişkenin olasılıklarını tanımlar.

Örneğin normal dağılım ve Öğrenci t dağılımı sürekli olasılık dağılımlarıdır.

Sürekli olasılık dağılımlarının özelliklerinden biri de belirli bir aralıkta her değeri alabilmesidir. Dolayısıyla kesikli olasılık dağılımlarından farklı olarak sürekli olasılık dağılımları ondalık değerler alabilir.

Sürekli dağılımlarda kümülatif olasılığı hesaplamak için dağılım eğrisinin altındaki alanın bulunması gerekir, dolayısıyla bu tür olasılık dağılımlarında kümülatif olasılık fonksiyonu yoğunluk fonksiyonunun integraline eşdeğerdir.

$\displaystyle P[X\leq x]=\int_{-\infty}^x f(x)dx$

Sürekli Olasılık Dağılımlarına Örnekler

Sürekli olasılık dağılımının tanımını gördükten sonra, kavramı daha iyi anlamak için bu tür dağılımın birkaç örneğini göreceğiz.

Sürekli olasılık dağılımlarına örnekler:

Bir dersteki öğrencilerin ağırlığı.
Bir elektrikli bileşenin ömrü.
Borsada işlem gören şirketlerin hisselerinin karlılığı.
Bir arabanın hızı.
Belirli hisse senetlerinin fiyatı.

Sürekli olasılık dağılımlarının türleri

Sürekli olasılık dağılımlarının ana türleri şunlardır:

Düzgün ve sürekli dağıtım
Normal dağılım
Lognormal dağılım
Ki-kare dağılımı
Öğrencinin t dağılımı
Snedecor F Dağıtımı
Üstel dağılım
Beta Dağılımı
Gama dağılımı
Weibull dağılımı
Pareto dağılımı

Sürekli olasılık dağılımının her türü aşağıda ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Düzgün ve sürekli dağıtım

Dikdörtgen dağılım olarak da adlandırılan sürekli düzgün dağılım , tüm değerlerin aynı görünme olasılığına sahip olduğu bir sürekli olasılık dağılımı türüdür. Başka bir deyişle sürekli düzgün dağılım, olasılığın belirli bir aralıkta düzgün dağıldığı bir dağılımdır.

Sürekli düzgün dağılım, sabit olasılığa sahip sürekli değişkenleri tanımlamak için kullanılır. Benzer şekilde, rastgele süreçleri tanımlamak için sürekli tekdüze dağılım kullanılır, çünkü tüm sonuçların aynı olasılığa sahip olması, sonuçta rastgelelik olduğu anlamına gelir.

Sürekli düzgün dağılım, eş olasılık aralığını tanımlayan a ve b olmak üzere iki karakteristik parametreye sahiptir. Dolayısıyla sürekli düzgün dağılımın sembolü U(a,b)’ dir; burada a ve b , dağılımın karakteristik değerleridir.

$X\sim U(a,b)$

Örneğin, rastgele bir deneyin sonucu 5 ile 9 arasında herhangi bir değer alabiliyorsa ve olası tüm sonuçların gerçekleşme olasılığı aynıysa, deney sürekli düzgün dağılım U(5.9) ile simüle edilebilir.

➤ Bakınız: Sürekli düzgün dağılımın özellikleri

Normal dağılım

Normal dağılım, grafiği çan şeklinde ve ortalamasına göre simetrik olan sürekli bir olasılık dağılımıdır. İstatistikte normal dağılım çok farklı özelliklere sahip olguları modellemek için kullanılır, bu nedenle bu dağılım çok önemlidir.

Aslında istatistikte normal dağılım, tüm olasılık dağılımları arasında açık ara en önemli dağılım olarak kabul edilir, çünkü sadece çok sayıda gerçek dünya olayını modellemekle kalmaz, aynı zamanda normal dağılım diğer olasılık türlerine yaklaşık olarak da kullanılabilir. dağıtımlar. belirli koşullar altında.

Normal dağılımın sembolü büyük harf N’dir. Yani bir değişkenin normal dağılım izlediğini belirtmek için N harfi ile gösterilir ve parantez içinde aritmetik ortalaması ve standart sapması değerleri eklenir.

$X\sim N(\mu,\sigma)$

Normal dağılımın Gauss dağılımı , Gauss dağılımı ve Laplace-Gauss dağılımı dahil olmak üzere birçok farklı adı vardır.

➤ Bakınız: Normal dağılımın özellikleri

Lognormal dağılım

Lognormal dağılım veya lognormal dağılım , logaritması normal dağılıma uyan rastgele bir değişkeni tanımlayan bir olasılık dağılımıdır.

Bu nedenle, eğer X değişkeni normal dağılıma sahipse, üstel fonksiyon e ^x lognormal dağılıma sahiptir.

$X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)$

Logaritmanın yalnızca bir pozitif argümanı kabul eden bir fonksiyon olması nedeniyle lognormal dağılımın yalnızca değişkenin değerleri pozitif olduğunda kullanılabileceğini unutmayın.

Lognormal dağılımın istatistikteki farklı uygulamaları arasında, bu dağılımın finansal yatırımları analiz etmek ve güvenilirlik analizleri yapmak için kullanılmasını öne çıkarıyoruz.

Lognormal dağılım aynı zamanda Tinaut dağılımı olarak da bilinir ve bazen lognormal dağılım veya log-normal dağılım olarak da yazılır.

➤ Bakınız: Lognormal dağılımın özellikleri

Ki-kare dağılımı

Ki-kare dağılımı sembolü χ² olan bir olasılık dağılımıdır. Daha kesin olarak Ki-kare dağılımı, normal dağılıma sahip k bağımsız rastgele değişkenin karelerinin toplamıdır.

Dolayısıyla Ki-kare dağılımı k serbestlik derecesine sahiptir. Bu nedenle, bir Ki-kare dağılımı, temsil ettiği normal dağılımlı değişkenlerin karelerinin toplamı kadar serbestlik derecesine sahiptir.

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

Ki-kare dağılımı Pearson dağılımı olarak da bilinir.

Ki-kare dağılımı istatistiksel çıkarımlarda, örneğin hipotez testlerinde ve güven aralıklarında yaygın olarak kullanılır. Aşağıda bu tür olasılık dağılımının uygulamalarının neler olduğunu göreceğiz.

➤ Bakınız: Ki-kare dağılımının özellikleri

Öğrencinin t dağılımı

Öğrenci t dağılımı istatistikte yaygın olarak kullanılan bir olasılık dağılımıdır. Özellikle, Öğrenci t dağılımı, iki numunenin ortalamaları arasındaki farkı belirlemek ve güven aralıklarını oluşturmak için Öğrenci t testinde kullanılır.

Öğrencinin t dağılımı, istatistikçi William Sealy Gosset tarafından 1908 yılında “Öğrenci” takma adı altında geliştirildi.

Öğrencinin t dağılımı, toplam gözlem sayısından bir birimin çıkarılmasıyla elde edilen serbestlik derecesi sayısıyla tanımlanır. Bu nedenle, Öğrenci t dağılımının serbestlik derecesini belirleme formülü ν=n-1’dir .

$\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}$

➤ Bakınız: Öğrenci dağılımının özellikleri

Snedecor F Dağıtımı

Fisher-Snedecor F dağılımı veya basitçe F dağılımı olarak da adlandırılan Snedecor F dağılımı, istatistiksel çıkarımda, özellikle varyans analizinde kullanılan sürekli bir olasılık dağılımıdır.

Snedecor F dağılımının özelliklerinden biri, serbestlik derecelerini gösteren m ve n olmak üzere iki gerçek parametrenin değeriyle tanımlanmasıdır. Dolayısıyla Snedecor dağılımı F’nin sembolü Fm _,n’dir ; burada m ve n , dağılımı tanımlayan parametrelerdir.

$F_{m,n}\qquad m,n>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”139″ style=”vertical-align: -6px;”> Matematiksel olarak Snedecor F dağılımı, bir ki-kare dağılımı ile onun serbestlik dereceleri arasındaki bölümün, başka bir ki-kare dağılımı ile onun serbestlik dereceleri arasındaki bölüme bölünmesine eşittir. Böylece Snedecor F dağılımını tanımlayan formül aşağıdaki gibidir: <p class=$ $\left.\begin{array}{c} X\sim \chi_m^2\\[2ex] Y\sim \chi_n^2\end{array}\right\}\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ F_{m,n}= \cfrac{X/m}{Y/n}$

Fisher-Snedecor F dağılımı, adını İngiliz istatistikçi Ronald Fisher ve Amerikalı istatistikçi George Snedecor’dan almaktadır.

İstatistikte Fisher-Snedecor F dağılımının farklı uygulamaları vardır. Örneğin, Fisher-Snedecor F dağılımı farklı doğrusal regresyon modellerini karşılaştırmak için kullanılır ve bu olasılık dağılımı, varyans analizinde (ANOVA) kullanılır.

➤ Bakınız: Snedecor F dağılımının özellikleri

Üstel dağılım

Üstel dağılım, rastgele bir olayın meydana gelmesi için bekleme süresini modellemek için kullanılan sürekli bir olasılık dağılımıdır.

Daha doğrusu üstel dağılım, Poisson dağılımını takip eden iki olay arasındaki bekleme süresini tanımlamayı mümkün kılar. Bu nedenle üstel dağılım Poisson dağılımıyla yakından ilişkilidir.

Üstel dağılım, Yunan harfi λ ile temsil edilen karakteristik bir parametreye sahiptir ve incelenen olayın belirli bir süre içinde kaç kez meydana gelmesinin beklendiğini gösterir.

$X\sim \text{Exp}(\lambda)$

Benzer şekilde üstel dağılım da bir arıza meydana gelene kadar geçen süreyi modellemek için kullanılır. Bu nedenle üstel dağılımın güvenilirlik ve hayatta kalma teorisinde çeşitli uygulamaları vardır.

➤ Bakınız: Üstel dağılımın özellikleri

Beta Dağılımı

Beta dağılımı, (0,1) aralığında tanımlanan ve iki pozitif parametreyle parametrelendirilen bir olasılık dağılımıdır: α ve β. Yani beta dağılımının değerleri α ve β parametrelerine bağlıdır.

Bu nedenle değeri 0 ile 1 arasında olan sürekli rastgele değişkenleri tanımlamak için beta dağılımı kullanılır.

Sürekli bir rastgele değişkenin beta dağılımı tarafından yönetildiğini gösteren çeşitli gösterimler vardır, en yaygın olanları şunlardır:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

İstatistikte beta dağılımının çok çeşitli uygulamaları vardır. Örneğin beta dağılımı, farklı örneklerdeki yüzdelerdeki değişiklikleri incelemek için kullanılır. Benzer şekilde proje yönetiminde Pert analizini gerçekleştirmek için beta dağıtımı kullanılır.

➤ Bakınız: Beta dağılımının özellikleri

Gama dağılımı

Gama dağılımı, iki karakteristik parametre olan α ve λ ile tanımlanan sürekli bir olasılık dağılımıdır. Başka bir deyişle, gama dağılımı iki parametresinin değerine bağlıdır: α şekil parametresidir ve λ ölçek parametresidir.

Gama dağılımının sembolü büyük Yunan harfi Γ’dir. Yani bir rastgele değişken gama dağılımını takip ediyorsa şu şekilde yazılır:

$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$

Gama dağılımı ayrıca şekil parametresi k = α ve ters ölçek parametresi θ = 1/λ kullanılarak parametrelendirilebilir. Her durumda gama dağılımını tanımlayan iki parametre pozitif gerçek sayılardır.

Tipik olarak gama dağılımı sağa çarpık veri kümelerini modellemek için kullanılır, böylece grafiğin sol tarafında daha fazla veri konsantrasyonu olur. Örneğin, gama dağılımı elektrikli bileşenlerin güvenilirliğini modellemek için kullanılır.

➤ Bakınız: Gama dağılımının özellikleri

Weibull dağılımı

Weibull dağılımı iki karakteristik parametreyle tanımlanan sürekli bir olasılık dağılımıdır: şekil parametresi α ve ölçek parametresi λ.

İstatistiklerde Weibull dağılımı esas olarak hayatta kalma analizi için kullanılır. Aynı şekilde Weibull dağılımının da farklı alanlarda birçok uygulaması vardır.

$X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)$

Yazarlara göre Weibull dağılımı üç parametreyle de parametrelendirilebilir. Daha sonra dağılım grafiğinin başladığı apsisi gösteren eşik değeri adı verilen üçüncü bir parametre eklenir.

Weibull dağılımı, adını 1951 yılında onu ayrıntılı olarak açıklayan İsveçli Waloddi Weibull’dan almıştır. Ancak Weibull dağılımı 1927 yılında Maurice Fréchet tarafından keşfedilmiş ve ilk olarak 1933 yılında Rosin ve Rammler tarafından uygulanmıştır.

➤ Bakınız: Weibull dağılımının özellikleri

Pareto dağılımı

Pareto dağılımı, istatistikte Pareto ilkesini modellemek için kullanılan sürekli bir olasılık dağılımıdır. Dolayısıyla Pareto dağılımı, gerçekleşme olasılığı diğer değerlerden çok daha yüksek olan birkaç değere sahip bir olasılık dağılımıdır.

80-20 kuralı olarak da adlandırılan Pareto yasasının, bir olgunun nedeninin çoğunun nüfusun küçük bir kısmından kaynaklandığını söyleyen istatistiksel bir ilke olduğunu unutmayın.

Pareto dağılımının iki karakteristik parametresi vardır: ölçek parametresi x _m ve şekil parametresi α.

$X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)$

Başlangıçta Pareto dağılımı, nüfusun küçük bir kısmından kaynaklandığı için nüfus içindeki zenginlik dağılımını tanımlamak için kullanılıyordu. Ancak şu anda Pareto dağılımının birçok uygulaması vardır; örneğin kalite kontrolde, ekonomide, bilimde, sosyal alanda vb.

➤ Bakınız: Pareto dağılımının özellikleri

Sürekli ve ayrık olasılık dağılımı

Olasılık dağılımları sürekli dağılımlar ve ayrık dağılımlar olarak sınıflandırılabilir. Son olarak bu iki tür olasılık dağılımı arasındaki farkın ne olduğunu göreceğiz.

Sürekli olasılık dağılımları ile ayrık olasılık dağılımları arasındaki fark alabilecekleri değer sayısıdır. Sürekli dağılımlar bir aralıkta sonsuz sayıda değer alabilirken, kesikli dağılımlar bir aralıkta yalnızca sayılabilir sayıda değer alabilir.

Bu nedenle genel olarak sürekli dağılımları ayrık dağılımlardan ayırmanın bir yolu alabilecekleri sayı türlerine göredir. Normalde sürekli bir dağılım, ondalık sayılar da dahil olmak üzere herhangi bir değeri alabilirken, ayrık dağılımlar yalnızca tam sayıları alabilir.

➤ Bakınız: Ayrık olasılık dağılımı nedir?

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil