Güven aralığı

İle Ağustos 3, 2023 İstatistik 0 Yorum

Bu makalede istatistiklerde güven aralığının ne olduğu ve ne için kullanıldığı açıklanmaktadır. Ayrıca güven aralıklarını etkileyen faktörleri ve güven aralığının nasıl hesaplandığını da bulacaksınız.

Güven aralığı nedir?

İstatistiklerde güven aralığı , bir popülasyon parametresinin değerinin belirli bir güven düzeyine bağlandığı değerlerin yaklaşık değerini veren bir aralıktır. En yaygın güven aralıkları %95 veya %99 güven düzeyine sahiptir.

Örneğin güven düzeyi %95 olan bir popülasyonun ortalaması için güven aralığı (3,7) ise bu, incelenen popülasyonun ortalamasının %95 olasılıkla 3 ile 7 arasında olacağı anlamına gelir.

Bu nedenle güven aralığı, bir popülasyon parametresinin arasında yer aldığı iki değeri tahmin etmek için kullanılır. Genel olarak popülasyon parametrelerinin değerleri bilinmemektedir, bu nedenle popülasyon parametrelerinin bir tahminine sahip olmak için bir örnekteki verilerden bir güven aralığı hesaplanır.

Güven aralığını etkileyen faktörler

Güven aralığının tanımını gördükten sonra kavramı daha iyi anlamak için güven aralıklarının bağlı olduğu faktörlerin neler olduğunu göreceğiz.

  • Örneklem büyüklüğü : İncelenen gözlemlerin sayısı güven aralığının kesinliğini etkiler, çünkü ne kadar çok veriye sahip olursak o kadar çok değer tahmin edilebilir. Genel olarak örneklem büyüklüğü ne kadar büyük olursa güven aralığının genişliği de o kadar küçük olur.
  • Hata marjı : izin verilen hata ne kadar büyük olursa, güven aralığı da o kadar büyük olur ve dolayısıyla parametrenin gerçek değerinin güven aralığı dahilinde olma olasılığı da o kadar artar. Ancak hata payı güven aralığının kesinliğini azaltır.
  • Güven düzeyi : Nüfus istatistiğinin tahmininin güven aralığı içinde olma olasılığıdır. Tipik olarak bir aralığın güven düzeyi 1-α olarak gösterilir ve yüzde olarak ifade edilir. Yüksek bir güven düzeyi, gerçek değerin aralık sınırları arasında kalma olasılığını artırır, ancak aynı zamanda aralığın genişliğini de arttırır.
  • Tahmin edilen parametre : güven aralığı, yaklaşılacak parametreye bağlıdır. Aslında güven aralığını hesaplamak için kullanılacak formül yaklaşık parametreye bağlıdır.

Güven aralığı nasıl hesaplanır

Her bir güven aralığı türünü hesaplamak için uygulanacak formül aşağıda sunulmuştur, çünkü ortalama, varyans veya oran için güven aralığını belirlemek isteyip istemediğimize bağlı olarak kullanılacak formül farklıdır.

Ortalama için güven aralığı

Bir değişkenin yazılması işlemi şu şekilde yapılır:

Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)

Ortalama için güven aralığı, Z α/2 değerinin standart sapma (σ) ile çarpılması ve numune boyutunun (n) kareköküne bölünmesiyle numune ortalamasından toplanıp çıkarılarak hesaplanır. Bu nedenle ortalamanın güven aralığını hesaplama formülü şöyledir:

\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Büyük örneklem boyutları ve %95 güven düzeyi için kritik değer Z α/2 = 1,96 ve %99 güven düzeyi için kritik değer Z α/2 = 2,576’dır.

Popülasyon varyansı bilindiğinde yukarıdaki formül kullanılır. Bununla birlikte, en yaygın durum olan popülasyon varyansı bilinmiyorsa, ortalamanın güven aralığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

Altın:

  • \overline{x}

    örnek anlamına gelir.

  • t_{\alpha/2}

    α/2 olasılıkla n-1 serbestlik derecesinin Öğrenci t dağılımının değeridir.

  • s

    örnek standart sapmasıdır.

  • n

    örneklem büyüklüğüdür.

güven aralığı

Varyans için güven aralığı

Bir popülasyonun varyansının güven aralığını hesaplamak için ki-kare dağılımı kullanılır. Daha spesifik olarak varyansın güven aralığını hesaplama formülü şöyledir:

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

Altın:

  • n

    örneklem büyüklüğüdür.

  • s

    örnek standart sapmasıdır.

  • \chi_{n-1;\alpha/2}

    α/2’den küçük bir olasılık için n-1 serbestlik derecesine sahip Ki-kare dağılımının değeridir.

  • \chi_{n-1;1-\alpha/2}

    1-α/2’den büyük bir olasılık için n-1 serbestlik derecesine sahip Ki-kare dağılımının değeridir.

Orantı için güven aralığı

Oranın güven aralığı, Z α/2 değerinin örnek oranının kareköküyle (p) çarpılması, 1-p ile çarpılması ve örnek boyutuna (n) bölünmesiyle örnek oranına eklenip çıkarılarak hesaplanır. Bu nedenle orana ilişkin güven aralığını hesaplama formülü şu şekildedir:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

Altın:

  • p

    örnek oranıdır.

  • n

    örneklem büyüklüğüdür.

  • Z_{\alpha/2}

    α/2 olasılığına karşılık gelen standart normal dağılımın niceliğidir. Büyük örneklem büyüklükleri ve %95 güven düzeyi için genellikle 1,96’ya, %99 güven düzeyi için ise genellikle 2,576’ya yakındır.

yazar hakkında

Dr.Benjamin Anderson
Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil

Yorum ekle

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir