Kontrast istatistikleri

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 3, 2023 İstatistik 0 Yorum

Bu makale kontrast istatistiğinin ne olduğunu, kontrast istatistikleri için en yaygın formüllerin neler olduğunu ve daha fazlasını kontrast istatistiği, ret bölgesi ve kabul bölgesi arasındaki ilişkiyi açıklamaktadır.

Kontrast istatistiği nedir?

Kontrast istatistiği , çalışma hipoteziyle ilgili olasılık dağılımı bilinen bir değişkendir. Spesifik olarak, kontrast istatistiği hipotez testinde boş hipotezi reddetmek veya kabul etmek için kullanılır.

Aslında bir hipotez testinin boş hipotezinin reddedilip reddedilmeyeceği kararı, test istatistiğinin değerine bağlıdır. Test istatistiğinin değeri red bölgesine düşerse sıfır hipotezi reddedilir. oysa test istatistiğinin değeri kabul bölgesi içinde kalıyorsa sıfır hipotezi kabul edilir.

➤ Bakınız: Hipotez testleri (istatistikler)

Kontrast İstatistik Formülleri

Hipotez testinin türüne bağlı olarak test istatistiğinin dağılımı farklıdır. Bu nedenle test istatistiğinin formülü aynı zamanda hipotez testinin türüne de bağlıdır. Şimdi hipotez testinin türüne bağlı olarak test istatistiğinin nasıl hesaplandığını göreceğiz.

Ortalama için kontrast istatistiği

Bilinen varyanslı ortalamaya ilişkin hipotez test istatistiğinin formülü şöyledir:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Altın:

$Z$

ortalama için hipotez testi istatistiğidir.
$\overline{x}$

örnek anlamına gelir.
$\mu$

önerilen ortalama değerdir.
$\sigma$

nüfus standart sapmasıdır.
$n$

örneklem büyüklüğüdür.

Ortalama için hipotez kontrast istatistiği hesaplandıktan sonra sonuç, sıfır hipotezini reddedecek veya reddedecek şekilde yorumlanmalıdır:

Ortalama için hipotez testi iki taraflı ise, istatistiğin mutlak değeri Z _α/2 kritik değerinden büyükse sıfır hipotezi reddedilir.
Ortalamaya yönelik hipotez testi sağ kuyrukla eşleşiyorsa, istatistiğin Z _α kritik değerinden büyük olması durumunda sıfır hipotezi reddedilir.
Ortalama için hipotez testi sol kuyrukla eşleşirse, istatistik kritik değer -Z _α’dan küçükse sıfır hipotezi reddedilir.

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Bu durumda kritik değerler standartlaştırılmış normal dağılım tablosundan elde edilir.

Öte yandan, bilinmeyen varyanslı ortalamaya ilişkin hipotez test istatistiğinin formülü şöyledir:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Altın:

$t$

Öğrenci t dağılımı ile tanımlanan ortalamaya ilişkin hipotez testi istatistiğidir.
$\overline{x}$

örnek anlamına gelir.
$\mu$

önerilen ortalama değerdir.
$s$

örnek standart sapmasıdır.
$n$

örneklem büyüklüğüdür.

Daha önce olduğu gibi, kontrast istatistiğinin hesaplanan sonucu, boş hipotezin reddedilmesi veya reddedilmemesi için kritik değerle yorumlanmalıdır:

Ortalamaya yönelik hipotez testi iki taraflı ise, istatistiğin mutlak değeri _tα/2|n-1 kritik değerinden büyükse sıfır hipotezi reddedilir.
Ortalama için hipotez testi sağ kuyrukla eşleşiyorsa, istatistiğin _tα|n-1 kritik değerinden büyük olması durumunda sıfır hipotezi reddedilir.
Ortalama için hipotez testi sol kuyrukla eşleşirse, istatistik kritik değer -t _α|n-1’den küçükse sıfır hipotezi reddedilir.

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Varyansın bilinmediği durumlarda kritik test değerleri Öğrenci dağılım tablosundan elde edilir.

➤ Bakınız: Ortalama için hipotez testi

Orantı için kontrast istatistiği

Oran için hipotez test istatistiğinin formülü şöyledir:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Altın:

$Z$

orana ilişkin hipotez testi istatistiğidir.
$\widehat{p}$

örnek oranıdır.
$p$

önerilen orantı değeridir.
$n$

örneklem büyüklüğüdür.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

oranın standart sapmasıdır.

Oran için hipotez testi istatistiğini hesaplamanın yeterli olmadığını, ancak sonucun yorumlanması gerektiğini unutmayın:

Oran için hipotez testi iki taraflı ise, istatistiğin mutlak değeri Z _α/2 kritik değerinden büyükse sıfır hipotezi reddedilir.
Oran için hipotez testi sağ kuyrukla eşleşirse, istatistiğin Z _α kritik değerinden büyük olması durumunda sıfır hipotezi reddedilir.
Oran için hipotez testi sol kuyrukla eşleşirse, istatistiğin -Z _α kritik değerinden küçük olması durumunda sıfır hipotezi reddedilir.

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Kritik değerlerin standart normal dağılım tablosundan kolaylıkla elde edilebileceğini unutmayın.

➤ Bakınız: Oran için hipotez testi

Varyans için kontrast istatistiği

Varyans için hipotez testi istatistiğini hesaplama formülü şöyledir:

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Altın:

$\chi^2$

ki-kare dağılımına sahip varyans için hipotez test istatistiğidir.
$n$

örneklem büyüklüğüdür.
$s^2$

örnek varyansıdır.
$\sigma^2$

önerilen popülasyonun varyansıdır.

İstatistiğin sonucunun yorumlanabilmesi için elde edilen değerin testin kritik değeri ile karşılaştırılması gerekir.

Varyans için hipotez testi iki kuyruklu ise, istatistik kritik değerden büyükse sıfır hipotezi reddedilir.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

veya kritik değerin altındaysa

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Varyans için hipotez testi sağ kuyrukla eşleşiyorsa, istatistik kritik değerden büyükse sıfır hipotezi reddedilir
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Varyans için hipotez testi sol kuyrukla eşleşirse, istatistik kritik değerden küçükse sıfır hipotezi reddedilir
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Varyansa ilişkin kritik hipotez testi değerleri ki-kare dağılım tablosundan elde edilir. Ki-kare dağılımının serbestlik derecesinin örneklem büyüklüğü eksi 1 olduğuna dikkat edin.

➤ Bakınız: Varyans hipotez testi

Kontrast istatistiği, ret bölgesi ve kabul bölgesi

Bir hipotez testinde ret bölgesi , test istatistiğinin dağılım grafiğinin boş hipotezin reddedildiğini (ve alternatif hipotezin kabul edildiğini) ima eden bölgesidir. Diğer yandan kabul bölgesi , test istatistiğinin dağılım grafiğinde boş hipotezin kabul edildiğini (ve alternatif hipotezin reddedildiğini) ima eden bölgedir.

Dolayısıyla kontrast istatistiğinin değeri, bir hipotez testinin sonucunu şu şekilde belirler:

Test istatistiği ret bölgesi içinde kalıyorsa sıfır hipotezi reddedilir ve alternatif hipotez kabul edilir.
Test istatistiğinin kabul bölgesi içinde kalması durumunda sıfır hipotezi kabul edilir ve alternatif hipotez reddedilir.

Reddetme bölgesini kabul bölgesinden ayıran değerlere kritik değerler denir. Bu nedenle ret bölgesinin ve kabul bölgesinin sınırlarını bilmek ve dolayısıyla sıfır hipotezini ne zaman reddedeceğimizi ve ne zaman kabul edeceğimizi bilmek için kritik değerleri hesaplamamız gerekir.

➤ Bakınız: Kritik değer

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil

Kontrast istatistiği nedir?

Kontrast İstatistik Formülleri

Ortalama için kontrast istatistiği

Orantı için kontrast istatistiği

Varyans için kontrast istatistiği

Kontrast istatistiği, ret bölgesi ve kabul bölgesi

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Yorum ekle