“en az iki” başarı olasılığı nasıl bulunur?

Bir dizi denemede en az iki başarı olasılığını bulmak için aşağıdaki genel formülü kullanabiliriz:

 P(at least two successes) = 1 - P(zero successes) - P(one success)

Yukarıdaki formülde, binom dağılımı için aşağıdaki formülü kullanarak her olasılığı hesaplayabiliriz:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Altın:

• n: deneme sayısı
• k: başarı sayısı
• p: belirli bir denemede başarı olasılığı
• _n C _k : n denemede k başarı elde etmenin yollarının sayısı

Aşağıdaki örnekler, farklı senaryolarda “en az iki” başarı olasılığını bulmak için bu formülün nasıl kullanılacağını göstermektedir.

Örnek 1: Serbest atış denemeleri

Ty serbest atış denemelerinin %25’ini yapıyor. Eğer 5 serbest atış atarsa en az iki atış yapma olasılığını bulun.

Öncelikle tam olarak sıfır serbest atış veya tam olarak bir serbest atış yapma olasılığını hesaplayalım:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

Daha sonra Ty’ın en az iki serbest atış yapma olasılığını bulmak için bu değerleri aşağıdaki formüle yerleştirelim:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,2372 – 0,3955
• P(X≥2) = 0,3673

Ty’ın beş denemede en az iki serbest atış yapma olasılığı 0,3673’tür .

Örnek 2: Widget’lar

Belirli bir fabrikada tüm aletlerin %2’si kusurludur. 10 aletten oluşan rastgele bir örnekte en az ikisinin kusurlu olma olasılığını belirleyin.

Öncelikle tam olarak sıfır veya tam olarak bir tanesinin kusurlu olma olasılığını hesaplayalım:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

Daha sonra, en az iki widget’ın hatalı olma olasılığını bulmak için bu değerleri aşağıdaki formüle yerleştirelim:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,8171 – 0,1667
• P(X≥2) = 0,0162

Bu rastgele 10 örneklemde en az iki widget’ın kusurlu olma olasılığı 0,0162’dir .

Örnek 3: Trivia soruları

Bob, önemsiz soruların %60’ını doğru yanıtlıyor. Ona 5 önemsiz soru sorarsak en az ikisini doğru cevaplama olasılığını bulun.

Öncelikle tam olarak sıfır veya tam olarak bir yanıt verme olasılığını hesaplayalım:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

Daha sonra, en az iki soruyu doğru cevaplama olasılığını bulmak için bu değerleri aşağıdaki formüle yerleştirelim:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,01024 – 0,0768
• P(X≥2) = 0,91296

Beş sorudan en az ikisini doğru cevaplama olasılığı 0,91296’dır .

Bonus: “En az iki” olasılık hesaplayıcısı

Belirli bir denemedeki başarı olasılığına ve toplam deneme sayısına bağlı olarak “en az iki” başarı olasılığını otomatik olarak bulmak için bu hesaplayıcıyı kullanın.