Olasılık formülleri

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 1, 2023 Olasılık 0 Yorum

Bu makale olasılık formüllerinin ne olduğunu göstermektedir. Böylece olasılık teorisinin tüm formüllerini ve ayrıca bunların uygulama örneklerini bulacaksınız.

Laplace kuralının formülü

Laplace yasası olarak da bilinen Laplace kuralı, bir olayın meydana gelme olasılığını hesaplamak için kullanılan bir kuraldır.

Laplace kuralı, bir olayın meydana gelme olasılığının, olumlu durumların sayısının toplam olası durum sayısına bölünmesine eşit olduğunu söylüyor. Bu nedenle, bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamak için, o olayı karşılayan durumların olası sonuçların sayısına bölünmesi gerekir.

Dolayısıyla Laplace kuralının formülü şu şekildedir:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

➤ Bakınız: Laplace kuralı örneği

Ters olayın formülü

Bir olayın olasılığı, bir eksi karşıt olayın olasılığına eşittir. Başka bir deyişle, bir olayın olasılığı ile karşıt olayın olasılığının toplamı 1’e eşittir.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

Örneğin, 5 sayısının gelme olasılığı 0,167’dir, çünkü bu olasılıksal özelliği kullanarak başka herhangi bir sayının gelme olasılığını belirleyebiliriz:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

Koşullu Olasılık Formülü

Koşullu olasılık olarak da adlandırılan koşullu olasılık, başka bir B olayının meydana gelmesi durumunda A olayının meydana gelme olasılığını gösteren istatistiksel bir ölçümdür. Yani koşullu olasılık P(A|B), A olayının B olayı gerçekleştikten sonra meydana gelme olasılığını ifade eder.

Belirli bir B olayı A olayının koşullu olasılığı, A olayı ile B olayı arasındaki kesişme olasılığının B olayının olasılığına bölünmesine eşittir. Bu nedenle, koşullu olasılık formülü aşağıdaki gibidir:

$P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

➤ Bakınız: Koşullu olasılık örneği

Olayların birleşimi için formül

A ve B gibi iki olayın birleşimi, A’da, B’de veya her ikisinde de bulunan olayların kümesidir. İki olayın birleşimi ⋃ sembolü ile ifade edilir, dolayısıyla A ve B olaylarının birleşimi A⋃B olarak yazılır.

İki olayın birleşme olasılığı, birinci olayın olasılığı artı ikinci olayın olasılığı eksi olayların kesişme olasılığına eşittir.

Yani iki olayın birleşme olasılığı formülü P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B) şeklindedir.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Ancak iki olay uyumsuzsa iki olayın kesişimi sıfırdır. Bu nedenle birbiriyle bağdaşmayan iki olayın birleşme olasılığı, her bir olayın gerçekleşme olasılığının eklenmesiyle hesaplanır.

$\text{A y B son incompatibles} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P(A\cap B)=0$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ Bakınız: Etkinliklere katılım örnekleri

Olayların kesişimi için formül

A ve B olaylarının kesişimi, A ve B’ye ait tüm olayların aynı anda birleşmesiyle oluşur, ⋂ sembolüyle ifade edilir. Böylece A ve B olaylarının kesişimi A⋂B olarak yazılır.

İki olayın kesişme olasılığı, bir olayın meydana gelme olasılığı ile ilk olay göz önüne alındığında diğer olayın koşullu olasılığının çarpımına eşittir.

Bu nedenle, iki olayın kesişme olasılığı formülü P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B) şeklindedir.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

Ancak iki olay bağımsızsa bu, bir olayın meydana gelme olasılığının diğer olayın meydana gelip gelmemesine bağlı olmadığı anlamına gelir. Bu nedenle iki bağımsız olayın kesişme olasılığı formülü aşağıdaki gibidir:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

➤ Bakınız: Olayların kesişim örnekleri

Olayların farkı formülü

İki olay arasındaki fark olasılığı, bir olayın aynı anda meydana gelmeden diğer olayın meydana gelme olasılığını ifade eder.

Dolayısıyla AB başarıları arasındaki fark olasılığı, A başarısı olasılığından A başarısı ile B başarısı arasındaki kesişme olasılığı çıkarılarak eşittir. Yani başarıların farkının olasılığına ilişkin formül şu şekildedir:

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

Toplam olasılık teoremi formülü

Toplam olasılık teoremi, bir örnek uzayın parçası olmayan bir olayın olasılığının, söz konusu örnek uzaydaki tüm olayların koşullu olasılıklarından hesaplanmasını mümkün kılan bir yasadır.

Toplam olasılık teoremi, örnek uzayda bir bölüm oluşturan bir dizi olay (A ₁ , A ₂ ,…, A _n ) verildiğinde, B olayının olasılığının, her birinin olasılığının çarpımlarının toplamına eşit olduğunu söyler. P(A _i ) olayı P(B|A _i ) koşullu olasılığına göre hesaplanır.

Bu nedenle toplam olasılık teoreminin formülü şöyledir:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

➤ Bakınız: Toplam olasılık teoremi örneği

Bayes teoreminin formülü

Olasılık teorisinde Bayes teoremi, bir olay hakkında önceden bilgi bilindiğinde o olayın olasılığını hesaplamak için kullanılan bir yasadır.

Bayes teoremi, olasılıkları sıfır olmayan bir dizi birbirini dışlayan olaylar {A ₁ , A ₂ ,…, A _i ,…, A _n } ve başka bir B olayı tarafından oluşturulan bir örnek uzay verildiğinde, koşullu durumu matematiksel olarak ilişkilendirebileceğimizi söyler. B olayı verildiğinde A _i’nin olasılığı ve A _i verildiğinde B’nin koşullu olasılığı.

Bayes teoreminin formülü şu şekildedir:

$P(A_i|B)=\cfrac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k)}$

➤ Bakınız: Bayes teoremi örneği

Tüm olasılık formüllerinin özet tablosu

Son olarak size tüm olasılık formüllerini özet olarak içeren bir tablo bırakıyoruz.

➤ Bakınız: İstatistiksel formüller

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil