Hipergeometrik dağılıma giriş

Hipergeometrik dağılım, bu özelliğe sahip K nesneyi içeren N boyutlu sonlu bir popülasyondan, n çizimde belirli bir özelliğe sahip k nesneyi değiştirmeden seçme olasılığını tanımlar.

Bir X rastgele değişkeni hipergeometrik bir dağılım izliyorsa, belirli bir özelliğe sahip k nesneyi seçme olasılığı aşağıdaki formülle bulunabilir:

P(X=k) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n

Altın:

• N: nüfus büyüklüğü
• K: popülasyondaki belirli bir özelliğe sahip nesnelerin sayısı
• n: örneklem büyüklüğü
• k: örnekteki belirli bir işlevselliğe sahip nesnelerin sayısı
• _K C _k : bir seferde k alınan K şeyin kombinasyon sayısı

Örneğin, standart 52 kartlık bir destede 4 Kraliçe vardır. Bir desteden rastgele bir kart seçtiğimizi ve daha sonra değiştirmeden desteden rastgele başka bir kart seçtiğimizi varsayalım. Her iki kartın da kız olma olasılığı nedir?

Bunu cevaplamak için hipergeometrik dağılımı aşağıdaki parametrelerle kullanabiliriz:

• N: popülasyon büyüklüğü = 52 kart
• K: belirli bir özelliğe sahip popülasyondaki nesne sayısı = 4 kraliçe
• n: örneklem büyüklüğü = 2 çekiliş
• k: örnekteki belirli bir özelliğe sahip nesnelerin sayısı = 2 kraliçe

Bu sayıları formüle yerleştirdiğimizde olasılığın şöyle olduğunu buluruz:

P(X=2) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n = ₄ C ₂ ( _52-4 C _2-2 ) / ₅₂ C ₂ = 6*1/ 1326 = 0,00452 .

Bu sezgisel olarak anlamlı olmalıdır. Bir desteden arka arkaya iki kart çektiğinizi hayal ederseniz, her iki kartın da kız olma olasılığı çok düşük olmalıdır.

Hipergeometrik dağılımın özellikleri

Hipergeometrik dağılım aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Dağılımın ortalaması (nK) / N’dir

Dağılımın varyansı (nK)(NK)(Nn) / (N ² (n-1)) şeklindedir.

Hipergeometrik Dağıtım Uygulama Problemleri

Hipergeometrik dağılım bilginizi test etmek için aşağıdaki alıştırma problemlerini kullanın.

Not: Bu soruların cevaplarını hesaplamak için Hipergeometrik Dağılım Hesaplayıcısını kullanacağız.

Sorun 1

Soru: Bir desteden, yerine koymadan rastgele dört kart seçtiğimizi varsayalım. Kartlardan ikisinin kız olma olasılığı nedir?

Bunu cevaplamak için hipergeometrik dağılımı aşağıdaki parametrelerle kullanabiliriz:

• N: popülasyon büyüklüğü = 52 kart
• K: belirli bir özelliğe sahip popülasyondaki nesne sayısı = 4 kraliçe
• n: örneklem büyüklüğü = 4 çekiliş
• k: örnekteki belirli bir özelliğe sahip nesnelerin sayısı = 2 kraliçe

Bu sayıları hipergeometrik dağılım hesaplayıcısına yerleştirdiğimizde olasılığın 0,025 olduğunu görüyoruz.

Sorun 2

Soru: Bir kavanozda 3 kırmızı ve 5 yeşil top bulunmaktadır. Rastgele 4 top seçiyorsunuz. Tam olarak 2 kırmızı top seçme olasılığınız nedir?

Bunu cevaplamak için hipergeometrik dağılımı aşağıdaki parametrelerle kullanabiliriz:

• N: popülasyon büyüklüğü = 8 top
• K: popülasyondaki belirli bir özelliğe sahip nesnelerin sayısı = 3 kırmızı top
• n: örneklem büyüklüğü = 4 çekiliş
• k: örnekteki belirli bir özelliğe sahip nesnelerin sayısı = 2 kırmızı top

Bu sayıları hipergeometrik dağılım hesaplayıcısına yerleştirdiğimizde olasılığın 0,42857 olduğunu görüyoruz.

Sorun 3

Soru: Bir sepette 7 mor ve 3 pembe bilye vardır. Rastgele 6 bilye seçiyorsunuz. Tam olarak 3 pembe bilye seçme olasılığınız nedir?

Bunu cevaplamak için hipergeometrik dağılımı aşağıdaki parametrelerle kullanabiliriz:

• N: popülasyon büyüklüğü = 10 bilye
• K: popülasyondaki belirli bir özelliğe sahip nesnelerin sayısı = 3 pembe top
• n: örneklem büyüklüğü = 6 çekiliş
• k: örnekteki belirli bir özelliğe sahip nesnelerin sayısı = 3 pembe top

Bu sayıları hipergeometrik dağılım hesaplayıcısına yerleştirdiğimizde olasılığın 0,16667 olduğunu görüyoruz.