Negatif binom dağılımına giriş

Negatif binom dağılımı, bir dizi Bernoulli denemesinde belirli sayıda başarı elde edilmeden önce belirli sayıda başarısızlığın yaşanma olasılığını tanımlar.

Bir Bernoulli denemesi yalnızca iki olası sonucu olan bir deneydir – “başarılı” veya “başarısız” ve başarı olasılığı deney her yapıldığında aynıdır.

Bernoulli makalesinin bir örneği yazı tura atmaktır. Para yalnızca iki tura gelebilir (turalara “vuruş”, yazılara ise “başarısızlık” diyebiliriz) ve paranın adil olduğunu varsayarsak, her atışta başarı olasılığı 0,5’tir.

Rastgele bir değişken ise

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

Altın:

• k: arıza sayısı
• r: başarı sayısı
• p: belirli bir denemede başarı olasılığı
• _k+r-1 C _k : k kerede alınan (k+r-1) şeylerin kombinasyon sayısı

Örneğin, yazı tura attığımızı ve “başarılı” bir olayı tura gelmek olarak tanımladığımızı varsayalım. Toplam 4 başarı elde etmeden önce 6 başarısızlık yaşama olasılığı nedir?

Bu soruyu cevaplamak için negatif binom dağılımını aşağıdaki parametrelerle kullanabiliriz:

• k: arıza sayısı = 6
• r: başarı sayısı = 4
• p: belirli bir denemede başarı olasılığı = 0,5

Bu sayıları formüle yerleştirdiğimizde olasılığın şöyle olduğunu buluruz:

P(X=6 başarısızlık) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0,08203 .

Negatif binom dağılımının özellikleri

Negatif binom dağılımı aşağıdaki özelliklere sahiptir:

R başarı elde etmeden önce beklediğimiz ortalama başarısızlık sayısı pr/(1-p)’ dir.

r başarıyı elde etmeden önce beklenen başarısızlık sayısının varyansı pr / (1-p) ^2’dir .

Örneğin, yazı tura attığımızı ve “başarılı” bir olayı tura gelmek olarak tanımladığımızı varsayalım.

4 başarı elde etmeden önce bekleyeceğimiz ortalama başarısızlık sayısı (örneğin kuyruk inişi ) pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 olacaktır.

4 başarı elde etmeden önce beklediğimiz başarısızlık sayısının varyansı pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 olacaktır.

Negatif Binom Dağılımı Uygulama Problemleri

Negatif binom dağılımına ilişkin bilginizi test etmek için aşağıdaki alıştırma problemlerini kullanın.

Not: Bu soruların cevaplarını hesaplamak için negatif binom dağılım hesaplayıcısını kullanacağız.

Sorun 1

Soru: Yazı tura attığımızı ve “başarılı” bir olayı yazı tura atmak olarak tanımladığımızı varsayalım. Toplam 4 başarı yaşamadan önce 3 başarısızlık yaşama olasılığı nedir?

Cevap: k = 3 başarısızlık, r = 4 başarı ve p = 0,5 olan negatif binom dağılım hesaplayıcısını kullanarak P(X=3) = 0,15625’i buluruz.

Sorun 2

Soru: Kapı kapı dolaşıp şeker sattığımızı varsayalım. Birisi şeker satın alırsa bunu “başarı” olarak kabul ederiz. Belirli bir kişinin şeker alma olasılığı 0,4’tür. Toplam 5 başarı elde etmeden önce 8 başarısızlık yaşama olasılığı nedir?

Cevap: k = 8 başarısızlık, r = 5 başarı ve p = 0,4 olan negatif binom dağılım hesaplayıcısını kullanarak P(X=8) = 0,08514 olduğunu buluruz.

Sorun 3

Soru: Diyelim ki bir zar atıyoruz ve “başarılı” bir atışın 5 sayısına gelmesi olarak tanımlıyoruz. Belirli bir atışta zarın 5’e gelme olasılığı 1/6 = 0,167’dir. Toplam 3 başarı yaşamadan önce 4 başarısızlık yaşama olasılığı nedir?

Cevap: k = 4 başarısızlık, r = 3 başarı ve p = 0,167 ile negatif binom dağılım hesaplayıcısını kullanarak P(X=4) = 0,03364’ü buluruz.