A ve b'nin olasılığı nasıl bulunur: örneklerle

A ve B olmak üzere iki olay verildiğinde, “A ve B’nin olasılığını bulmak” , A olayının ve B olayının her ikisinin de meydana gelme olasılığını bulmak anlamına gelir.

Bu olasılığı genellikle iki şekilde yazarız:

• P(A ve B) – Yazılı form
• P(A∩B) – Form gösterimi

Bu olasılığı nasıl hesapladığımız A ve B olaylarının bağımsız veya bağımlı olmasına bağlıdır.

A ve B bağımsızsa P(A∩B)’yi hesaplamak için kullandığımız formül basitçe şöyledir:

 Independent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B)

A ve B bağımlıysa P(A∩B)’yi hesaplamak için kullandığımız formül şöyledir:

 Dependent Events: P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

P(B|A)’nın, verilen B olayının koşullu olasılığı olduğuna dikkat edin.   A olayı gerçekleşir.

Aşağıdaki örnekler bu formüllerin pratikte nasıl kullanılacağını göstermektedir.

Bağımsız olaylar için P(A∩B) örnekleri

Aşağıdaki örnekler, A ve B bağımsız olaylar olduğunda P(A∩B)’nin nasıl hesaplanacağını gösterir.

Örnek 1: Tuttuğunuz beyzbol takımının Dünya Serisini kazanma olasılığı 1/30, tuttuğunuz futbol takımının Super Bowl’u kazanma olasılığı ise 1/32’dir. Favori iki takımınızın kendi şampiyonalarını kazanma olasılığı nedir?

Çözüm: Bu örnekte her bir olayın gerçekleşme olasılığı diğerinden bağımsızdır. Yani her ikisinin de gerçekleşme olasılığı şu şekilde hesaplanır:

P(A∩B) = (1/30) * (1/32) = 1/960 = 0,00104.

Örnek 2: Aynı anda hem zar atıyorsunuz hem de parayı atıyorsunuz. Zarın 4’e ve paranın yazıya gelme olasılığı nedir?

Çözüm: Bu örnekte her bir olayın gerçekleşme olasılığı diğerinden bağımsızdır. Yani her ikisinin de gerçekleşme olasılığı şu şekilde hesaplanır:

P(A∩B) = (1/6) * (1/2) = 1/12 = 0,083333.

Bağımlı olaylar için P(A∩B) örnekleri

Aşağıdaki örnekler, A ve B bağımlı olaylar olduğunda P(A∩B)’nin nasıl hesaplanacağını gösterir.

Örnek 1: Bir kavanozda 4 kırmızı ve 4 yeşil top bulunmaktadır. Tornadan rastgele bir top seçiyorsunuz. Daha sonra değiştirmeden başka bir top seçersiniz. Her seferinde kırmızı bir top seçme olasılığınız nedir?

Çözüm: Bu örnekte ilk seferde seçtiğiniz topun rengi ikinci seferde kırmızı top seçme olasılığını etkilemektedir. Bu nedenle iki olay bağımlıdır.

A olayını ilk seferde kırmızı topun seçilme olasılığı olarak tanımlayalım. Bu olasılık P(A) = 4/8’dir. Daha sonra, ilk topun kırmızı olduğu göz önüne alındığında , tekrar kırmızı topun seçilme olasılığını bulmamız gerekiyor. Bu durumda seçilebilecek yalnızca 3 kırmızı top kalır ve torbada toplamda yalnızca 7 top kalır. Böylece P(B|A) 3/7 olur.

Yani her seferinde kırmızı top seçme olasılığımız şu şekilde hesaplanacaktır:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (4/8) * (3/7) = 0,214.

Örnek 2: Bir sınıfta 15 erkek ve 12 kız öğrenci bulunmaktadır. Her öğrencinin adını bir torbaya koyduğumuzu varsayalım. Çantadan rastgele bir isim seçiyoruz. Daha sonra değiştirmeden başka bir isim seçiyoruz. Her iki ismin de erkek olma olasılığı nedir?

Çözüm: Bu örnekte ilk seferde seçtiğimiz ilk isim, ikinci çizimde bir erkek çocuğunun ilk ismini seçme olasılığını etkilemektedir. Bu nedenle iki olay bağımlıdır.

A olayını ilk kez bir erkek çocuğu seçme olasılığı olarak tanımlayalım. Bu olasılık P(A) = 15/27’dir. Daha sonra, ilk ismin erkek olduğu göz önüne alındığında , tekrar erkek çocuk seçme olasılığını bulmamız gerekiyor. Bu durumda seçilebilecek sadece 14 erkek çocuk kalıyor ve çantada toplamda sadece 26 isim kalıyor. Böylece P(B|A) 14/26 olur.

Yani her seferinde bir erkek çocuğun adını seçme olasılığımız şu şekilde hesaplanacaktır:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = (15/27) * (14/26) = 0,299.