Tahmin aralığı

İle Ağustos 3, 2023 İstatistik 0 Yorum

Bu makalede istatistikte aralık tahmininin ne olduğu açıklanmaktadır. Ayrıca aralık tahmininin nasıl yapıldığını ve son olarak aralık tahmininin nokta tahmininden ne kadar farklı olduğunu da öğreneceksiniz.

Aralık tahmini nedir?

İstatistikte aralık tahmini , bir popülasyon parametresinin değerinin bir aralık kullanılarak tahmin edildiği bir süreçtir. Daha doğrusu aralık tahmini, parametre değerinin belirli bir güven düzeyiyle bulunma olasılığının en yüksek olduğu aralığın hesaplanmasını içerir.

Örneğin, bir aralık tahmininde popülasyon ortalaması için güven aralığının (3,7) olduğu ve %95 güven düzeyine sahip olduğu sonucuna varırsak, bu, incelenen popülasyonun ortalamasının 3 ile 7 arasında olacağı anlamına gelir. olasılık %95’tir.

Genel olarak, bir popülasyonun boyutu, tüm bireylerini incelemek için çok büyük olduğundan, istatistiksel ölçümlerinin değeri kesin olarak bilinemez, bunun yerine yaklaşık bir değer olarak bilinebilir.

Bu nedenle, aralık tahmini, örnek verilere dayanarak, popülasyon parametresinin aralarında yer aldığı değer aralığının yaklaşık bir tahminini sağlamak için kullanılır. Bu şekilde bir örneklemden çalışılan verilerden popülasyon parametresinin değeri tahmin edilebilir.

Son olarak, aralık tahmininin anlamını tam olarak anlamak için güven aralığı kavramı konusunda net olmanız gerekir. Güven aralığı , bir hata payı ile, bir popülasyon parametresinin değerinin aralarında bulunduğu değerlerin yaklaşıklığını sağlayan aralıktır. Bu nedenle güven aralığı, aralık tahmininden elde edilen sonuçtur.

➤ Bakınız: Güven aralığı nedir?

Aralık tahmin formülleri

Aşağıda güven aralıklarını tahmin etmek için farklı formüller bulacaksınız; çünkü ortalama için, varyans için veya oran için güven aralığını tahmin etmek isteyip istemediğinize bağlı olarak kullanılacak formül farklıdır.

Ortalama için güven aralığı

Bir değişken girme sürecinin şu şekilde gerçekleştiğini varsayarsak:

Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)

Ortalama için güven aralığı, Z α/2 değerinin standart sapma (σ) ile çarpılması ve numune boyutunun (n) kareköküne bölünmesiyle numune ortalamasından toplanıp çıkarılarak hesaplanır. Bu nedenle ortalamanın güven aralığını hesaplama formülü şöyledir:

\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)

Büyük örneklem boyutları ve %95 güven düzeyi için kritik değer Z α/2 = 1,96 ve %99 güven düzeyi için kritik değer Z α/2 = 2,576’dır.

Popülasyon varyansı bilindiğinde yukarıdaki formül kullanılır. Bununla birlikte, en yaygın durum olan popülasyon varyansı bilinmiyorsa, ortalamanın güven aralığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)

Altın:

  • \overline{x}

    örnek anlamına gelir.

  • t_{\alpha/2}

    α/2 olasılığı ile n-1 serbestlik derecesinin Öğrenci t dağılımının değeridir.

  • s

    örnek standart sapmasıdır.

  • n

    örneklem büyüklüğüdür.

güven aralığı

Varyans için güven aralığı

Bir popülasyonun varyansının güven aralığını hesaplamak için ki-kare dağılımı kullanılır. Daha spesifik olarak varyansın güven aralığını hesaplama formülü şöyledir:

\displaystyle \left( (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;\alpha/2}} \ , \ (n-1)\frac{s^2}{\chi_{n-1;1-\alpha/2}}\right)

Altın:

  • n

    örneklem büyüklüğüdür.

  • s

    örnek standart sapmasıdır.

  • \chi_{n-1;\alpha/2}

    α/2’den küçük bir olasılık için n-1 serbestlik derecesine sahip Ki-kare dağılımının değeridir.

  • \chi_{n-1;1-\alpha/2}

    1-α/2’den büyük bir olasılık için n-1 serbestlik derecesine sahip Ki-kare dağılımının değeridir.

Orantı için güven aralığı

Oranın güven aralığı, Z α/2 değerinin örnek oranının kareköküyle (p) çarpılması, 1-p ile çarpılması ve örnek boyutuna (n) bölünmesiyle örnek oranına eklenip çıkarılarak hesaplanır. Bu nedenle orana ilişkin güven aralığını hesaplama formülü şu şekildedir:

\displaystyle \left(p-Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\ , \ p+Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)

Altın:

  • p

    örnek oranıdır.

  • n

    örneklem büyüklüğüdür.

  • Z_{\alpha/2}

    α/2 olasılığına karşılık gelen standart normal dağılımın niceliğidir. Büyük örneklem büyüklükleri ve %95 güven düzeyi için genellikle 1,96’ya, %99 güven düzeyi için ise genellikle 2,576’ya yakındır.

Aralık tahmini ve nokta tahmini

Son olarak, bir popülasyon parametresinin değeri bir aralık (makale boyunca gördüğümüz gibi) veya bir nokta değeri kullanılarak tahmin edilebildiğinden, aralık tahmini ile nokta tahmini arasındaki farkların neler olduğunu göreceğiz.

Aralık tahmini ile nokta tahmini arasındaki fark, parametre tahmininde kullanılan değerlerin aralığıdır. Aralık tahmininde bir parametre bir güven aralığına yaklaştırılırken, nokta tahmininde parametre belirli bir değere yaklaştırılır.

Bu nedenle nokta tahmininde örnek verilerden hesaplanan tek bir değer, popülasyon parametre değerinin yaklaşık değeri olarak kabul edilir. Örneğin, popülasyon ortalaması, örnek ortalaması kullanılarak doğru bir şekilde tahmin edilebilir.

Bu nedenle, nokta tahmininin aralık tahminine göre avantajları ve dezavantajları vardır, öyle ki her tahmin türü belirli bir durumda kullanıma uygundur. Daha fazlasını öğrenmek için aşağıdaki bağlantıya tıklayın:

➤ Bakınız: Nokta tahmini nedir?

yazar hakkında

Dr.Benjamin Anderson
Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil

Yorum ekle

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir