Ayrık olasılık dağılımı

Bu makale istatistikte ayrık olasılık dağılımlarının ne olduğunu açıklamaktadır. Böylece, ayrık olasılık dağılımının anlamını, ayrık olasılık dağılımlarının örneklerini ve farklı türdeki ayrık olasılık dağılımlarının neler olduğunu bulacaksınız.

Ayrık olasılık dağılımı nedir?

Ayrık bir olasılık dağılımı, ayrı bir rastgele değişkenin olasılıklarını tanımlayan dağılımdır. Bu nedenle, ayrık bir olasılık dağılımı yalnızca sonlu sayıda değer (genellikle tam sayılar) alabilir.

Örneğin binom dağılımı, Poisson dağılımı ve hipergeometrik dağılım ayrık olasılık dağılımlarıdır.

Ayrık bir olasılık dağılımında, (xi ₎ ‘yi temsil eden ayrık değişkenin her değeri, 0’dan 1’e kadar değişen bir olasılık değeriyle (pi ₎ ilişkilendirilir. Böylece, ayrık bir dağılımdaki tüm olasılıkların toplamı, bir sonucunu verir. .

Ayrık olasılık dağılımlarına örnekler

Artık ayrık olasılık dağılımının tanımını bildiğimize göre, kavramı daha iyi anlamak için bu tür dağılımın birkaç örneğini göreceğiz.

Ayrık olasılık dağılımlarına örnekler:

1. Bir zarın 30 defa atılmasıyla elde edilen 5 rakamının sayısı.
2. Bir web sayfasına bir günde erişen kullanıcı sayısı.
3. Toplam 50 öğrenci içinden sınavı geçen öğrenci sayısı.
4. 100 üründen oluşan bir numunedeki kusurlu birimlerin sayısı.
5. Bir kişinin başarılı olabilmesi için direksiyon sınavına kaç kez girmesi gerektiğidir.

Ayrık olasılık dağılımlarının türleri

Ayrık olasılık dağılımlarının ana türleri şunlardır:

• Ayrık düzgün dağılım
• Bernoulli dağılımı
• Binom dağılımı
• Balık dağıtımı
• Çok terimli dağılım
• Geometrik dağılım
• Negatif binom dağılımı
• Hipergeometrik dağılım

Ayrık olasılık dağılımının her türü aşağıda ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Ayrık düzgün dağılım

Ayrık tekdüze dağılım, tüm değerlerin eş olasılıklı olduğu, yani ayrık bir tekdüze dağılımda tüm değerlerin aynı oluşma olasılığına sahip olduğu ayrı bir olasılık dağılımıdır.

Örneğin, tüm olası sonuçların (1, 2, 3, 4, 5 veya 6) aynı oluşma olasılığına sahip olması nedeniyle, bir zarın atılması ayrık ve düzgün bir dağılımla tanımlanabilir.

Genel olarak, ayrık bir düzgün dağılım, dağılımın alabileceği olası değerlerin aralığını tanımlayan a ve b olmak üzere iki karakteristik parametreye sahiptir. Bu nedenle, bir değişken ayrık bir düzgün dağılımla tanımlandığında, Düzgün(a,b) olarak yazılır.

Ayrık tekdüze dağılım, rastgele deneyleri tanımlamak için kullanılabilir çünkü tüm sonuçların aynı olasılığa sahip olması, deneyin rastgele olduğu anlamına gelir.

Bernoulli dağılımı

İkili dağılım olarak da bilinen Bernoulli dağılımı , yalnızca iki sonuca sahip olabilen ayrı bir değişkeni temsil eden bir olasılık dağılımıdır: “başarı” veya “başarısızlık”.

Bernoulli dağılımında “başarı” beklediğimiz sonuçtur ve 1 değerine sahipken, “başarısızlık” sonucu beklenenin dışında bir sonuçtur ve 0 değerine sahiptir. başarı” p , “başarısızlık” sonucunun olasılığı q=1-p’dir .

Bernoulli dağılımı ismini İsviçreli istatistikçi Jacob Bernoulli’den almıştır.

İstatistikte, Bernoulli dağılımının esas olarak tek bir uygulaması vardır: yalnızca iki olası sonucun (başarı ve başarısızlık) olduğu deneylerin olasılıklarını tanımlamak. Dolayısıyla Bernoulli dağılımını kullanan bir deneye Bernoulli testi veya Bernoulli deneyi denir.

Binom dağılımı

Binom dağılımı olarak da adlandırılan binom dağılımı , sabit bir başarı olasılığı ile bir dizi bağımsız, ikili deney gerçekleştirirken elde edilen başarıların sayısını sayan bir olasılık dağılımıdır. Başka bir deyişle binom dağılımı, bir dizi Bernoulli denemesinin başarılı sonuçlarının sayısını tanımlayan bir dağılımdır.

Örneğin, bir madalyonun 25 kez tura gelme sayısı binom dağılımıdır.

Genel olarak gerçekleştirilen deneylerin toplam sayısı n parametresi ile tanımlanırken, p her deneyin başarı olasılığıdır. Böylece, binom dağılımını takip eden bir rastgele değişken şu şekilde yazılır:

Binom dağılımında aynı deneyin n kez tekrarlandığını ve deneylerin birbirinden bağımsız olduğunu, dolayısıyla her deneyin başarı olasılığının aynı olduğunu (p) unutmayın.

Balık dağıtımı

Poisson dağılımı, belirli bir süre boyunca belirli sayıda olayın meydana gelme olasılığını tanımlayan bir olasılık dağılımıdır. Başka bir deyişle Poisson dağılımı, bir olgunun belirli bir zaman aralığında tekrarlanma sayısını tanımlayan rastgele değişkenleri modellemek için kullanılır.

Örneğin, bir telefon santralinin dakika başına aldığı çağrı sayısı, Poisson dağılımı kullanılarak tanımlanabilen ayrı bir rastgele değişkendir.

Poisson dağılımının, Yunanca λ harfiyle temsil edilen karakteristik bir parametresi vardır ve incelenen olayın belirli bir aralıkta kaç kez meydana gelmesinin beklendiğini gösterir.

Çok terimli dağılım

Çok terimli dağılım (veya çok terimli dağılım ), birbirini dışlayan birkaç olayın birkaç denemeden sonra belirli sayıda meydana gelme olasılığını tanımlayan bir olasılık dağılımıdır.

Yani, rastgele bir deney üç veya daha fazla özel olayla sonuçlanabiliyorsa ve her olayın ayrı ayrı meydana gelme olasılığı biliniyorsa, çok terimli dağılım, birden fazla deney gerçekleştirildiğinde belirli sayıda olayın meydana gelme olasılığını hesaplamak için kullanılır. her zaman.

Dolayısıyla çok terimli dağılım, binom dağılımının bir genellemesidir.

Geometrik dağılım

Geometrik dağılım, ilk başarılı sonucu elde etmek için gereken Bernoulli denemelerinin sayısını tanımlayan bir olasılık dağılımıdır. Yani, Bernoulli deneylerinden biri pozitif sonuç elde edene kadar tekrarlanan süreçlerin geometrik dağılım modelleri.

Örneğin bir yoldan sarı bir araba görene kadar geçen araba sayısı geometrik bir dağılımdır.

Bernoulli testinin iki olası sonucu olan bir deney olduğunu unutmayın: “başarı” ve “başarısızlık”. Yani “başarı” olasılığı p ise, “başarısızlık” olasılığı q=1-p’dir .

Bu nedenle geometrik dağılım, gerçekleştirilen tüm deneylerin başarı olasılığı olan p parametresine bağlıdır. Ayrıca p olasılığı tüm deneyler için aynıdır.

Negatif binom dağılımı

Negatif binom dağılımı, belirli sayıda pozitif sonuç elde etmek için gereken Bernoulli denemelerinin sayısını tanımlayan bir olasılık dağılımıdır.

Bu nedenle, negatif bir binom dağılımının iki karakteristik parametresi vardır: r , istenen başarılı sonuçların sayısıdır ve p , gerçekleştirilen her Bernoulli deneyinin başarı olasılığıdır.

Dolayısıyla negatif binom dağılımı, pozitif sonuçlar elde etmek için gerektiği kadar Bernoulli denemesinin yapıldığı bir süreci tanımlar. Ayrıca, tüm bu Bernoulli denemeleri bağımsızdır ve sabit bir başarı olasılığına sahiptir.

Örneğin, negatif binom dağılımını takip eden rastgele bir değişken, 6 sayısı üç kez atılana kadar bir zarın kaç kez atılması gerektiğidir.

Hipergeometrik dağılım

Hipergeometrik dağılım, bir popülasyondan n öğenin değiştirilmesi gerekmeden rastgele bir çıkarma işlemindeki başarılı vakaların sayısını tanımlayan bir olasılık dağılımıdır.

Yani hipergeometrik dağılım, bir popülasyondan herhangi birini değiştirmeden n öğe çıkarırken x başarı elde etme olasılığını hesaplamak için kullanılır.

Bu nedenle hipergeometrik dağılımın üç parametresi vardır:

• N : popülasyondaki elementlerin sayısıdır (N = 0, 1, 2,…).
• K : Maksimum başarı durumu sayısıdır (K = 0, 1, 2,…,N). Hipergeometrik bir dağılımda bir öğe yalnızca “başarılı” veya “başarısızlık” olarak değerlendirilebileceğinden, NK maksimum başarısızlık durumu sayısıdır.
• n : gerçekleştirilen değiştirilmeden getirme sayısıdır.

Ayrık ve sürekli olasılık dağılımı

Son olarak, ayrık olasılık dağılımı ile sürekli olasılık dağılımı arasındaki farkı göreceğiz çünkü bu iki tür dağılımın nasıl ayırt edileceğini bilmek önemlidir.

Kesikli dağılım ile sürekli dağılım arasındaki fark alabilecekleri değer sayısıdır. Sürekli bir dağılım herhangi bir değeri alabilirken, kesikli bir dağılım herhangi bir değeri kabul etmez, yalnızca sınırlı sayıda değer alabilir.

Sürekli dağılımları ayrık dağılımlardan ayırmanın bir yolu, bunların ne tür sayılar içerebileceğini belirlemektir. Normalde sürekli bir dağılım, ondalık sayılar da dahil olmak üzere herhangi bir değeri alabilirken, ayrık dağılımlar yalnızca tam sayıları alabilir. Bu ipucunun her durumda işe yaramadığını, ancak vakaların büyük çoğunluğunda işe yaradığını unutmayın.