Balık dağıtımı

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 3, 2023 Olasılık 0 Yorum

Bu makalede istatistikte Poisson dağılımının ne olduğu ve ne için kullanıldığı anlatılmaktadır. Böylece Poisson dağılımının tanımını, Poisson dağılım örneklerini ve özelliklerinin neler olduğunu bulacaksınız. Son olarak, çevrimiçi bir hesap makinesiyle Poisson dağılımının herhangi bir olasılığını hesaplayabileceksiniz.

Poisson dağılımı nedir?

Poisson dağılımı, belirli bir süre boyunca belirli sayıda olayın meydana gelme olasılığını tanımlayan bir olasılık dağılımıdır.

Başka bir deyişle Poisson dağılımı, bir olgunun belirli bir zaman aralığında tekrarlanma sayısını tanımlayan rastgele değişkenleri modellemek için kullanılır.

Poisson dağılımının, Yunanca λ harfiyle temsil edilen karakteristik bir parametresi vardır ve incelenen olayın belirli bir aralıkta kaç kez meydana gelmesinin beklendiğini gösterir.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Genel olarak Poisson dağılımı, gerçekleşme olasılığı çok düşük olan olayları istatistiksel olarak modellemek için kullanılır. Aşağıda bu tür olasılık dağılımının birkaç örneğini görebilirsiniz.

Poisson dağılımı örnekleri

Poisson dağılımının tanımını gördükten sonra Poisson dağılımının birkaç örneğini burada bulabilirsiniz.

Poisson dağılımı örnekleri:

Bir saat içinde bir mağazaya giren kişi sayısı.
Bir ayda iki ülke arasındaki sınırı geçen araç sayısı.
Bir web sayfasına bir günde erişen kullanıcı sayısı.
Bir fabrikanın bir günde ürettiği kusurlu parça sayısı.
Bir telefon santralinin dakika başına aldığı çağrı sayısı.

Balık dağıtım formülü

Bir Poisson dağılımında, x olaylarının meydana gelme olasılığı e sayısı üzeri -λ’nın kuvveti ile λ üzeri x’in kuvveti çarpımına ve x’in faktöriyeline bölünmesine eşittir.

Bu nedenle Poisson dağılımının olasılığını hesaplama formülü şöyledir:

👉 Poisson dağılımına uyan bir değişkenin olasılığını hesaplamak için aşağıdaki hesaplayıcıyı kullanabilirsiniz.

Poisson dağılımı ayrık bir olasılık dağılımı olduğundan kümülatif bir olasılığı belirlemek için söz konusu değere kadar olan tüm değerlerin olasılıklarını bulmanız ve ardından hesaplanan tüm olasılıkları toplamanız gerekir.

Poisson dağılımına ilişkin çözülmüş alıştırma

Bir markanın sattığı ürün sayısı λ=5 birim/gün Poisson dağılımını takip etmektedir. Bir günde yalnızca 7 adet satmış olma olasılığınız nedir? Peki bir günde 3 veya daha az birim satma olasılığınız nedir?

Sorunun gerektirdiği farklı olasılıkları elde etmek için Poisson dağılım formülünü uygulamamız gerekir (yukarıya bakın). Bu formülü kullanarak bir günde 7 adet satma olasılığını hesaplıyoruz:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

İkinci olarak bizden 3 veya daha az birim satmanın kümülatif olasılığını belirlememiz isteniyor. Dolayısıyla bu olasılığı bulmak için 1 adet, 2 adet ve 3 adet satma olasılığını ayrı ayrı hesaplayıp sonra bunları toplamamız gerekir.

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

Bu nedenle öncelikle her olasılığı ayrı ayrı hesaplıyoruz:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

Daha sonra, bir günde üç veya daha az birim satma olasılığını belirlemek için hesaplanan üç olasılığı ekliyoruz.

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

Poisson dağılımının özellikleri

Bu bölümde Poisson dağılımının özelliklerinin neler olduğunu göreceğiz.

Poisson dağılımı, üzerinde çalışılan olayın belirli bir süre boyunca kaç kez meydana gelmesinin beklendiğini gösteren tek bir karakteristik parametre olan λ ile tanımlanır.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

Bir Poisson dağılımının ortalaması karakteristik parametresi λ’ya eşittir.

$E[X]=\lambda$

Benzer şekilde, bir Poisson dağılımının varyansı onun karakteristik parametresi λ’ya eşdeğerdir.

$Var(X)=\lambda$

λ bir tamsayı ise Poisson dağılımının modu bimodaldır ve değerleri λ ve λ-1’dir. Bunun yerine, eğer λ bir tam sayı değilse, Poisson dağılımının modu λ’dan küçük veya ona eşit olan en büyük tam sayıdır.

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

Poisson dağılımının medyanını belirlemek için özel bir formül yoktur ancak aralığını bulabilirsiniz:

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

Poisson dağılımının olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

Bağımsız Poisson rastgele değişkenlerinin eklenmesi, karakteristik parametresi orijinal değişkenlerin parametrelerinin toplamı olan başka bir Poisson rastgele değişkeniyle sonuçlanır.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

Toplam gözlem sayısı yeterince büyükse (n≥100), λ binom dağılımının iki karakteristik parametresinin çarpımıysa, bir binom dağılımı Poisson dağılımı olarak tahmin edilebilir.

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ Bakınız: Binom dağılımının özellikleri