Beta dağılımı

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 4, 2023 Olasılık 0 Yorum

Bu makalede beta dağıtımının ne olduğu ve ne için kullanıldığı anlatılmaktadır. Aynı şekilde beta dağılım grafiğini ve bu tip olasılık dağılımının özelliklerini görebileceksiniz.

Beta dağılımı nedir?

Beta dağılımı, (0,1) aralığında tanımlanan ve iki pozitif parametreyle parametrelendirilen bir olasılık dağılımıdır: α ve β. Yani beta dağılımının değerleri α ve β parametrelerine bağlıdır.

Bu nedenle beta dağılımının temel özelliği, şeklinin α ve β parametreleri tarafından kontrol edilebilmesidir. Ayrıca beta dağılımı, değeri 0 ile 1 arasında olan rastgele değişkenleri tanımlamak için kullanılır.

Sürekli bir rastgele değişkenin beta dağılımı tarafından yönetildiğini gösteren çeşitli gösterimler vardır, en yaygın olanları şunlardır:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}$

İstatistikte beta dağılımının çok çeşitli uygulamaları vardır. Örneğin beta dağılımı, farklı örneklerdeki yüzdelerdeki değişiklikleri incelemek için kullanılır. Benzer şekilde proje yönetiminde Pert analizini gerçekleştirmek için beta dağıtımı kullanılır.

Beta dağıtım grafiği

Beta dağılımının tanımı dikkate alınarak beta dağılımının yoğunluk fonksiyonu ve olasılık dağılım fonksiyonu aşağıda çizilmiştir.

Aşağıda beta dağılımının yoğunluk fonksiyonu grafiğinin α ve β parametrelerine bağlı olarak nasıl değiştiğini görebilirsiniz.

Benzer şekilde, aşağıda α ve β parametrelerine dayalı olarak beta dağılımının kümülatif olasılığının grafiksel gösterimini görebilirsiniz.

Beta dağılımının özellikleri

Bu bölümde beta dağılımının en önemli özelliklerinin neler olduğunu göreceğiz.

Beta dağılımının α ve β parametreleri gerçek ve pozitif sayılardır.

$\begin{array}{c}\alpha >0\\[2ex] \beta >0\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”54″ width=”44″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <ul> <li> Beta dağılımının alanı 0 ile 1 arasında değişir; iki uç nokta dahil değildir.</li> </ul> <p class=$ $x\in (0,1)$

Beta dağılımının ortalaması, alfa bölü alfa artı beta toplamına eşittir.

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] E[X]=\cfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\end{array}$

Beta dağılımının varyansı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

$\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex] Var(X)=\cfrac{\alpha\cdot \beta}{(\alpha+\beta+1)\cdot (\alpha+\beta)^2}\end{array}$

Alfa ve betanın 1’den büyük değerleri için beta dağılım modu aşağıdaki ifadeyle kolaylıkla bulunabilir:

$Mo=\cfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\qquad \alpha,\beta>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”42″ width=”225″ style=”vertical-align: -16px;”></p> </p> <ul> <li> Beta dağılımının yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:</li> </ul> <p class=$ $\displaystyle P[X=x]=\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$

Burada B(α,β) beta fonksiyonudur ve şu şekilde tanımlanır:

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx$

Beta dağılımının kümülatif olasılık fonksiyonu şöyledir:

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{B(x;\alpha,\beta)}{B(\alpha,\beta)}$

Burada B(x;α,β) tamamlanmamış beta fonksiyonudur ve şu şekilde tanımlanır:

$\displaystyle B(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt$

X, bir beta dağılımı tarafından tanımlanan bir değişkense, 1-X, alfa ve beta parametreleri sırasıyla orijinal beta dağılımının beta ve alfa parametreleri olan bir beta dağılımı tarafından tanımlanan bir değişkendir.

$X\sim B(\alpha,\beta) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ 1-X\sim B(\beta,\alpha)$

Beta dağılımının alfa ve beta parametrelerinin her ikisi de 1’e eşitse, bu durumda dağılım, 0 ve 1 parametrelerinin düzgün bir dağılımına eşdeğerdir.

$X\sim B(1,1) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ X\sim U(0,1)$

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil

Beta dağılımı nedir?

Beta dağıtım grafiği

Beta dağılımının özellikleri

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Yorum ekle