Binom deneyleri: bir açıklama + örnekler

Binom deneylerini anlamak, binom dağılımını anlamanın ilk adımıdır.

Bu eğitimde bir binom deneyi tanımlanır ve binom deneyi olarak değerlendirilen veya kabul edilmeyen birkaç deney örneği sunulur.

Binom deneyi: tanım

Binom deneyi aşağıdaki dört özelliğe sahip bir deneydir:

1. Deney n tekrarlanan denemeden oluşur. N sayısı herhangi bir miktarda olabilir. Örneğin, bir parayı 100 kez atarsak n = 100 olur.

2. Her denemenin yalnızca iki olası sonucu vardır. Sonuçları genellikle “başarı” veya “başarısızlık” olarak adlandırırız, ancak “başarı” yalnızca güvendiğimiz bir şeyin etiketidir. Örneğin, bir yazı tura attığımızda yazıya “vuruş”, yazıya da “başarısızlık” diyebiliriz.

3. p ile gösterilen başarı olasılığı her deneme için aynıdır. Bir deneyin gerçek bir binom deneyi olabilmesi için “başarı” olasılığının her denemede aynı olması gerekir. Örneğin, bir yazı tura attığımızda, her yazı tura atışımızda tura gelme (“başarı”) olasılığı her zaman aynıdır.

4. Her test bağımsızdır . Bu basitçe bir denemenin sonucunun başka bir denemenin sonucunu etkilemediği anlamına gelir. Örneğin, bir parayı attığımızı ve tura geldiğini varsayalım. Tura gelmesi bir sonraki atışta tura gelme olasılığını değiştirmez. Her çevirme (yani her “deneme”) bağımsızdır.

Binom deneylerine örnekler

Aşağıdaki deneylerin tümü binom deneylerinin örnekleridir.

örnek 1

Bir parayı 10 kez çevirin. Kaç kez kuyruk düştüğünü kaydedin.

Bu bir binom deneyidir çünkü aşağıdaki dört özelliğe sahiptir:

• Deney n tekrarlanan denemeden oluşur. Bu durumda 10 deneme yapılır.
• Her denemenin yalnızca iki olası sonucu vardır. Madeni para yalnızca yazı veya tura gelebilir.
• Başarı olasılığı her deneme için aynıdır . Başarıyı kafanıza çarpmak olarak tanımlarsak, her denemede başarı olasılığı tam olarak 0,5’tir.
• Her test bağımsızdır . Bir çekilişin sonucu diğer çekilişin sonucunu etkilemez.

Örnek #2

6 taraflı adil bir zarı 20 kez atın. 2’nin kaç kez göründüğünü kaydedin.

Bu bir binom deneyidir çünkü aşağıdaki dört özelliğe sahiptir:

• Deney n tekrarlanan denemeden oluşur. Bu durumda 20 deneme vardır.
• Her denemenin yalnızca iki olası sonucu vardır. 2’yi “başarı” olarak tanımlarsak, zar her seferinde ya 2’ye (başarı) ya da başka bir sayıya (başarısızlık) denk gelir.
• Başarı olasılığı her deneme için aynıdır . Her denemede zarın 2’ye gelme olasılığı 1/6’dır. Bu olasılık bir denemeden diğerine değişmez.
• Her test bağımsızdır . Bir kalıp atışının sonucu diğer kalıp atışlarının sonucunu etkilemez.

Örnek #3

Tyler serbest atış denemelerinin %70’ini yapıyor. 15 deneme yaptığını varsayalım. Yaptığı sepet sayısını kaydedin.

Bu bir binom deneyidir çünkü aşağıdaki dört özelliğe sahiptir:

• Deney n tekrarlanan denemeden oluşur. Bu durumda 15 deneme vardır.
• Her denemenin yalnızca iki olası sonucu vardır. Tyler her denemede ya basketi atıyor ya da ıskalıyor.
• Başarı olasılığı her deneme için aynıdır . Her denemede Tyler’ın basket atma olasılığı %70’tir. Bu olasılık bir denemeden diğerine değişmez.
• Her test bağımsızdır . Bir serbest atış girişiminin sonucu, diğer herhangi bir serbest atış girişiminin sonucunu etkilemez.

Binom deneyleri olmayan örnekler

örnek 1

100 kişiye kaç yaşında olduklarını sorun .

Bu bir binom deneyi değil çünkü ikiden fazla olası sonuç var.

Örnek #2

5 görünene kadar 6 taraflı adil bir zar atın.

Bu bir binom deneyi değildir çünkü önceden tanımlanmış n sayıda deneme yoktur. 5 görünene kadar kaç atış yapılması gerektiği hakkında hiçbir fikrimiz yok.

Örnek #3

Bir kart destesinden 5 kart çekin.

Bu bir binom deneyi değildir çünkü bir denemenin sonucu (örneğin desteden belirli bir kartın çekilmesi) sonraki denemelerin sonucunu etkiler.

Binom deneyinin bir örneği ve çözümü

Aşağıdaki örnek, binom deneyiyle ilgili bir sorunun nasıl çözüleceğini gösterir.

Bir parayı 10 kez atarsınız. Paranın tam olarak 7 tura gelme olasılığı nedir?

Bir binom deneyinde n başarı olasılığını bulmak istediğimizde aşağıdaki formülü kullanmamız gerekir:

P(tam olarak k başarı) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Altın:

• n: deneme sayısı
• k: başarı sayısı
• C: “kombinasyon” sembolü
• p: belirli bir denemede başarı olasılığı

Bu sayıları formüle yerleştirerek şunu elde ederiz:

P(7 kafa) = ₁₀ C ₇ * 0,5 ⁷ * (1-0,5) ^10-7 = (120) * (0,0078125) * (0,125) = 0,11719 .

Yani madalyonun 7 kez tura gelme olasılığı 0,11719’dur .