Büyük bir numunenin durumu: tanım ve örnek

İstatistikte, hipotez testleri veyagüven aralıkları yoluyla popülasyonlar hakkında sonuçlara varmak için sıklıkla örnekleri kullanmak isteriz.

Hipotez testlerinde ve güven aralıklarında kullandığımız formüllerin çoğu, belirli bir örneğin kabaca normal bir dağılım izlediğini varsayar.

Ancak bu hipotezi güvenli bir şekilde formüle etmek için örneklem büyüklüğümüzün yeterince büyük olduğundan emin olmamız gerekir. Özellikle, büyük örneklem koşulunun karşılandığından emin olmamız gerekiyor.

Büyük örneklem koşulu: Örneklem büyüklüğü en az 30’dur.

Not: Bazı ders kitaplarında “yeterince büyük” örneklem büyüklüğü en az 40 olarak tanımlanmaktadır, ancak 30 sayısı daha yaygın olarak kullanılmaktadır.

Bu koşul karşılandığında,numune ortalamalarının örnekleme dağılımının yaklaşık olarak normal olduğu varsayılabilir. Bu varsayım, örneklerin alındıkları popülasyonlar hakkında sonuçlar çıkarmak için kullanmamıza olanak tanır.

30 sayısının kullanılmasının nedeni merkezi limit teoremine dayanmaktadır. Bu blog yazısında bununla ilgili daha fazla bilgi edinebilirsiniz.

Örnek: Büyük bir numunenin durumunun kontrol edilmesi

Belirli bir makinenin kraker ürettiğini varsayalım. Bu kurabiyelerin ağırlık dağılımı, ortalama 10 ons ve standart sapma 2 ons olacak şekilde sağa çarpıktır. Bu makine tarafından üretilen 100 kurabiyeden oluşan basit rastgele bir örnek alırsak, bu örnekteki kurabiyelerin ortalama ağırlığının 9,8 onstan az olma olasılığı nedir?

Bu soruyu cevaplamak için normal CDF hesaplayıcısını kullanabiliriz ancak öncelikle örneklem büyüklüğünün örnekleme ortalamasının dağılımının normal olduğunu varsayacak kadar büyük olduğunu doğrulamamız gerekir.

Bu örnekte örneklem büyüklüğümüz n = 100 olup, 30’dan çok daha büyüktür. Gerçek çerez ağırlık dağılımının sağa çarpık olmasına rağmen örneklem büyüklüğümüz “yeterince büyük” olduğundan dağılımın şöyle olduğunu varsayabiliriz: örnekleme ortalaması normaldir. Böylece bu sorunu çözmek için normal CDF hesaplayıcıyı güvenle kullanabiliriz.

Büyük numunelerin durumundaki değişiklikler

Çoğunlukla, örneklem büyüklüğü 30’dan büyük veya 30’a eşitse “yeterince büyük” kabul edilir, ancak bu sayı, nüfus dağılımının temel şekline bağlı olarak biraz değişebilir.

Özellikle:

• Nüfus dağılımı simetrikse, 15 kadar küçük bir örneklem büyüklüğü bazen yeterli olabilir.
• Nüfus dağılımı çarpıksa genellikle en az 30 kişiden oluşan bir örneklem gereklidir.
• Nüfus dağılımı aşırı derecede çarpıksa 40 veya daha fazla kişiden oluşan bir örneklem gerekli olabilir.

Nüfus dağılımının şekline bağlı olarak, merkezi limit teoreminin uygulanması için 30’dan büyük veya küçük bir örneklem büyüklüğüne ihtiyacınız olabilir.

Ek kaynaklar

Merkezi limit teoremine giriş
Örnekleme Dağılımlarına Giriş