Büyük sayılar kanunu

Bu yazımızda büyük sayılar kanununun ne olduğunu, olasılık ve istatistikte ne için kullanıldığını açıklıyoruz. Ayrıca büyük sayılar yasasının uygulanmasına ilişkin bir örnek ve ayrıca bu yasa ile merkezi limit teoremi arasındaki ilişkinin ne olduğunu görebileceksiniz.

Büyük sayılar kanunu nedir?

Olasılık teorisinde büyük sayılar kanunu , çok sayıda işlemin sonucunu açıklayan bir kuraldır. Daha spesifik olarak büyük sayılar kanunu, çok sayıda denemeden elde edilen sonuçların ortalamasının beklenen değere yakın olacağını söylemektedir.

Ayrıca büyük sayılar kanununa göre ne kadar çok deney yaparsak sonuçlar beklenen değere o kadar yakın olacaktır.

Örneğin, bir parayı beş kez atarsak yalnızca bir kez (%20) tura gelebilir. Ancak, eğer para birkaç kez atılırsa (1000’den fazla atış), beklenen değer bu olduğundan, sonuçların neredeyse yarısı (%50) tura olacaktır. Bu büyük sayılar kanununun bir örneğidir.

Büyük sayılar yasasının kökeni 16. yüzyılda Gerolamo Cardano’ya dayanmaktadır, ancak tarih boyunca pek çok yazar bu istatistik yasasının geliştirilmesine katılmıştır: Bernoulli, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov ve Khinchin.

Büyük sayılar yasası örneği

Büyük sayılar yasasının tanımını gördükten sonra anlamını daha iyi anlamak için somut bir örnek göreceğiz. Bu durumda zarı atarak elde edebileceğimiz olası sonuçların olasılıklarını analiz edeceğiz.

Bir zar atıldığında altı olası sonuç vardır (1, 2, 3, 4, 5 ve 6), dolayısıyla her temel olayın teorik olasılığı şöyledir:

Daha sonra fırlatmayı birkaç kez simüle edeceğiz ve büyük sayılar kanununa uyulup uyulmadığını kontrol etmek için sonuçları bir frekans tablosuna kaydedeceğiz.

Gerçekleştirilen deney sayısının önemini görebilmeniz için, önce on, sonra yüz ve son olarak da bin fırlatmayı simüle edeceğiz. Böylece 10 rastgele zar atma simülasyonundan elde edilen sonuçlar aşağıdaki gibidir:

Gördüğünüz gibi sadece on atış simüle edilerek elde edilen frekans olasılıkları teorik olasılıklara benzememektedir.

Ancak deney sayısını artırdıkça bu iki ölçüm daha da benzer hale geliyor, 100 fırlatma simülasyonuna bakın:

Artık zardaki her sayı için hesaplanan frekans olasılığı teorik olasılığa daha çok benziyor ancak yine de çok farklı değerler elde ediyoruz.

Son olarak aynı işlemi yapıyoruz ancak 1000 başlatmayı simüle ediyoruz:

Son tabloda gördüğümüz gibi artık frekans olasılıklarının değerleri teorik olasılıklara çok yakın.

Özetle, yapılan deney sayısını ne kadar artırırsak, bir olayın frekans olasılığının değeri o olayın teorik gerçekleşme olasılığına o kadar yaklaşır. Bu nedenle büyük sayılar yasasına uyulur, çünkü ne kadar çok yineleme yaparsak deneysel değerler teorik değerlere o kadar benzer olur.

Büyük sayılar yasasının sınırlandırılması

Büyük sayılar kanunu çoğu durumda geçerlidir, ancak bazı olasılık dağılımları bu istatistiksel teoremi karşılamamaktadır.

Örneğin Cauchy dağılımı veya Pareto dağılımı (α<1) deneme sayısı arttıkça birbirine yakınsamamaktadır. Bunun nedeni dağılımların kuyruklarının büyük olmasıdır, bu da onların beklenen değerlerinin olmadığı anlamına gelir.

Öte yandan, bazı deneyler özelliklerinden dolayı önyargılıdır, dolayısıyla araştırmacı sonuçları (kasıtlı olarak ya da değil) rasyonel, psikolojik, ekonomik vb. için değiştirme eğilimindedir. sebepler. Bu durumlarda büyük sayılar kanunu önyargının çözülmesine yardımcı olmaz, ancak deneme sayısı ne kadar artarsa artsın önyargı devam edecektir.

Büyük sayılar kanunu ve merkezi limit teoremi

Büyük sayılar yasası ve merkezi limit teoremi, olasılık ve istatistiğin birbiriyle yakından ilişkili iki temel kuralıdır. Yani bu bölümde ilişkilerinin ne olduğunu ve farklarının ne olduğunu göreceğiz.

Merkezi limit teoremi olarak da adlandırılan merkezi limit teoremi, popülasyonun olasılık dağılımından bağımsız olarak, numune boyutu arttıkça numune ortalamalarının dağılımının normal bir dağılıma yaklaştığını söyler.

Büyük sayılar kanunu ile merkezi limit teoremi arasındaki fark, büyük sayılar kanununun çok sayıda denemenin ortalamasının beklenen değere yakın olduğunu söylemesi, ancak merkezi limit teoreminin birçok denemenin ortalamasının beklenen değere yakın olduğunu söylemesidir. örnekler normal dağılıma yakındır.