Çarpmanın genel kuralı (açıklama ve örnekler)

Genel çarpma kuralı, herhangi iki olayın (A ve B) her ikisinin de meydana gelme olasılığının şu şekilde hesaplanabileceğini belirtir:

P(A ve B) = P(A) * P(B|A)

Dikey çubuk | “verilen” anlamına gelir. Dolayısıyla P(B|A), “A’nın meydana geldiği göz önüne alındığında , B’nin meydana gelme olasılığı” olarak okunabilir.

A ve B olayları bağımsızsa, P(B|A) basitçe P(B)’ye eşittir ve kural aşağıdaki gibi basitleştirilebilir:

P(A ve B) = P(A) * P(B)

Bu genel çarpma kuralını pratikte nasıl uygulayabileceğimizi görmek için bazı bağımsız ve bağımlı olay örneklerini gözden geçirelim.

Bağımlı olaylar için genel çarpma kuralı

Aşağıdaki örnekler, iki bağımlı olayla ilgili olasılıkları bulmak için genel çarpma kuralının nasıl kullanılacağını göstermektedir. Her örnekte, ikinci olayın meydana gelme olasılığı, birinci olayın sonucundan etkilenir.

Örnek 1: bir kavanozdaki toplar

Bir kavanozda 4 kırmızı ve 3 yeşil top bulunmaktadır. Bob torbadan rastgele 2 topu geri koymadan seçecek. 2 kırmızı top seçme olasılığı nedir?

Çözüm: İlk denemede kırmızı top seçme olasılığı 4/7’dir. Bu top kaldırıldığında ikinci denemede kırmızı top seçme olasılığı 3/6’dır. Yani 2 kırmızı top seçme olasılığı şu şekilde hesaplanabilir:

P (her ikisi de kırmızı) = 4/7 * 3/7 ≈ 0,2249

Örnek 2: destedeki kartlar

Bir iskambil destesinde 26 siyah ve 26 kırmızı kart bulunmaktadır. Debbie, desteden rastgele 2 kartı değiştirmeden seçecektir. 2 kırmızı kart seçme olasılığı nedir?

Çözüm: İlk denemede kırmızı kart seçme olasılığı 26/52’dir. Bu kart kaldırıldığında ikinci denemede kırmızı kart seçme olasılığı 25/51’dir. Yani 2 kırmızı kart seçme olasılığı şu şekilde hesaplanabilir:

P (her ikisi de kırmızı) = 26/52 * 25/51 ≈ 0,2451

Bağımsız olaylar için genel çarpma kuralı

Aşağıdaki örnekler, iki bağımsız olayla ilgili olasılıkları bulmak için genel çarpma kuralının nasıl kullanılacağını göstermektedir. Her örnekte, ikinci olayın meydana gelme olasılığı, birinci olayın sonucundan etkilenmemektedir .

Örnek 1: iki madeni para atmak

Diyelim ki iki para çektiğimizi varsayalım. İki paranın tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm: İlk paranın tura gelme olasılığı 1/2’dir. İlk paranın hangi tarafa geldiğine bakılmaksızın ikinci paranın tura gelme olasılığı da 1/2’dir. Böylece iki paranın tura gelme olasılığı şu şekilde hesaplanabilir:

P (her ikisi de tura düşer) = 1/2 * 1/2 = 0,25

Örnek 2: İki zar atın

Diyelim ki aynı anda iki zar atıyoruz. Her iki zarın da 1 numaraya gelme olasılığı nedir?

Çözüm: İlk zarın “1”e gelme olasılığı 1/6’dır. İlk zarın hangi tarafa geldiğine bakılmaksızın ikinci zarın “1”e gelme olasılığı da 1/6’dır. Yani her iki zarın da “1”e gelme olasılığı şu şekilde hesaplanabilir:

P(Her ikisi de “1”e iner) = 1/6 * 1/6 = 1/36 ≈ 0,0278