Çarpma kuralı

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 1, 2023 Olasılık 0 Yorum

Bu makale olasılık teorisinde çarpım kuralı olarak da adlandırılan çarpma kuralının ne olduğunu açıklamaktadır. Böylece çarpma kuralının formülünün ne olduğunu, çarpma kuralını kullanarak bir olasılığın nasıl hesaplanacağına dair örnekleri ve ek olarak uygulayabileceğiniz çeşitli çözülmüş alıştırmaları bulacaksınız.

Çarpma kuralı olayların bağımsız ya da bağımlı olmasına bağlıdır; bu nedenle önce bağımsız olaylar için, sonra da bağımlı olaylar için kuralın nasıl göründüğünü göreceğiz.

Bağımsız olaylar için çarpma kuralı

Bağımsız olayların, gerçekleşme olasılıkları birbirine bağlı olmayan istatistiksel bir deneyin sonuçları olduğunu unutmayın. Başka bir deyişle, A olayının meydana gelme olasılığı B olayının meydana gelmesine bağlı değilse A ve B olayları bağımsızdır ve bunun tersi de geçerlidir.

➤ Bakınız: Bağımsız olaylar nelerdir?

Bağımsız olaylar için çarpma kuralı formülü

İki olay bağımsız olduğunda çarpma kuralı , her iki olayın meydana gelme olasılığının her bir olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşit olduğunu söyler.

Bu nedenle bağımsız olaylar için çarpma kuralının formülü şöyledir:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Altın:

$A$

Ve

$B$

Bunlar iki bağımsız olaydır.
$P(A\cap B)$

A olayı ve B olayının meydana gelme olasılığı ortak olasılıktır.
$P(A)$

A olayının gerçekleşme olasılığıdır.
$P(B)$

B olayının gerçekleşme olasılığıdır.

➤ Bakınız: Ortak olasılık nedir?

Bağımsız olaylar için örnek çarpma kuralı

Bir madeni para art arda üç kez atılıyor. Üç atışta da tura gelme olasılığını hesaplayın.

Bu durumda ortak olasılığını hesaplamak istediğimiz olaylar bağımsızdır çünkü bir çekilişin sonucu bir önceki çekilişte elde edilen sonuca bağlı değildir. Bu nedenle, ardışık üç tura gelme olasılığını belirlemek için bağımsız olaylar için çarpma kuralı formülünü kullanmamız gerekir:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Yazı tura attığımızda sadece iki olası sonuç vardır; yazı veya tura gelebiliriz. Buna göre, bir para atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı:

$P(\text{cara})=\cfrac{1}{2}=0,5$

$P(\text{cruz})=\cfrac{1}{2}=0,5$

Dolayısıyla, üç yazı tura atışında da tura gelme olasılığını bulmak için, tura gelme olasılığını üçle çarpmamız gerekir:

$P(\text{cara}\cap \text{cara}\cap \text{cara})=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,125$

Kısacası art arda üç kez tura gelme olasılığı %12,5’tir.

Aşağıda olasılıklarıyla birlikte bir ağaç diyagramında temsil edilen tüm olası olayları görüyorsunuz, bu şekilde ortak olasılığı elde etmek için takip ettiğimiz süreci daha iyi görebilirsiniz:

➤ Bakınız: Ağaç diyagramı nedir?

Bağımlı olaylar için çarpma kuralı

Artık bağımsız olaylar için çarpma kuralının ne olduğunu gördüğümüze göre, formül biraz farklılık gösterdiği için bu yasanın bağımlı olaylar için nasıl göründüğüne bakalım.

Bağımlı olayların, gerçekleşme olasılıkları birbirine bağlı olan rastgele bir deneyin sonuçları olduğunu unutmayın. Yani, bir olayın meydana gelme olasılığı diğer olayın meydana gelme olasılığını etkiliyorsa iki olay bağımlıdır.

➤ Bakınız: Bağımlı olaylar nelerdir?

Bağımlı olaylar için çarpma kuralı formülü

İki olay bağımlı olduğunda çarpma kuralı , her iki olayın meydana gelme olasılığının, bir olayın meydana gelme olasılığının, ilk olay göz önüne alındığında diğer olayın koşullu olasılığı ile çarpımına eşit olduğunu söyler.

Yani bağımlı olaylar için çarpma kuralının formülü şöyledir:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

Altın:

$A$

Ve

$B$

Bunlar iki bağımlı olaydır.
$P(A\cap B)$

A olayının ve B olayının gerçekleşme olasılığıdır.
$P(A)$

A olayının gerçekleşme olasılığıdır.
$P(B|A)$

A olayı verildiğinde B olayının meydana gelme koşullu olasılığıdır.

➤ Bakınız: Koşullu olasılık nedir?

Bağımlı olaylar için örnek çarpma kuralı

Boş bir kutuya 8 mavi top, 4 turuncu top ve 2 yeşil top koyuyoruz. İlk çekilen topu kutuya geri koymadan önce bir top, sonra başka bir top çekersek, ilk topun mavi, ikinci topun turuncu olma olasılığı nedir?

Bu durumda olaylar bağımlıdır çünkü ikinci çekilişte turuncu bir top alma olasılığı, ilk çekilişte çekilen topun rengine bağlıdır. Bu nedenle ortak olasılığı hesaplamak için bağımlı olaylar için çarpma kuralı formülünü kullanmamız gerekir:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

İlk çekilişte mavi top alma olasılığını belirlemek kolaydır; mavi topların sayısını toplam top sayısına bölmeniz yeterlidir:

$P(\text{bola azul})=\cfrac{8}{8+4+2}=\cfrac{8}{14}=0,57$

Öte yandan, mavi bir top aldıktan sonra turuncu bir top çekme olasılığı, turuncu topların sayısı farklı olduğundan ve ayrıca kutunun içinde artık bir top eksildiğinden farklı şekilde hesaplanır:

$P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\cfrac{4}{7+4+2}=\cfrac{4}{13}=0,31$

Böylece, önce mavi, sonra turuncu bir top çekmenin ortak olasılığı, yukarıda bulunan iki olasılığın çarpılmasıyla hesaplanır:

$\begin{array}{l}P(\text{bola azul}\cap\text{bola naranja})=\\[2ex]=P(\text{bola azul})\cdot P(\text{bola naranja}|\text{bola azul})=\\[2ex]=0,57\cdot 0,31= \\[2ex]=0,18\end{array}$

➤ Bakınız: Toplama kuralı

Çarpma kuralına ilişkin çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Bir ilçede sadece 3 kreş bulunmaktadır: Çocukların %60’ı A kreşine, %30’u B kreşine ve %10’u C kreşine gitmektedir. Ayrıca üç kreşte nüfusun %55’i kızdır. Aşağıdaki olasılıkları hesaplayın:

B kreşinden rastgele seçilen bir çocuğun kız olma olasılığı.
Herhangi bir kreşten rastgele seçilen bir çocuğun erkek olma olasılığı.

Çözümü görün

Tüm kreşlerdeki kız çocukların oranı %55 ise, erkek çocukların yüzdesi basitçe 1 eksi 0,55 çıkarılarak hesaplanır:

$P(\text{chico})=1-0,55=0,45$

Artık tüm olasılıkları bildiğimize göre, tüm olasılıkların olasılıklarını içeren bir ağaç oluşturabiliriz:

Bu durumda, kız ya da erkek olma olasılığı seçilen kreşe bağlı olmadığından olaylar bağımsızdır. Dolayısıyla, kreş B’den rastgele bir kız seçme olasılığını bulmak için, kreş B’yi seçme olasılığını bir kız seçme olasılığıyla çarpmanız gerekir:

$P(\text{chica guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,55=\bm{0,165}$

Öte yandan, herhangi bir kreşe erkek çocuk seçme olasılığını belirlemek için önce her kreşe bir erkek çocuk seçme olasılığını hesaplamalı, sonra bunları toplamalıyız:

$P(\text{chico guarder\'ia A})=0,6\cdot 0,45=0,27$

$P(\text{chico guarder\'ia B})=0,30\cdot 0,45=0,135$

$P(\text{chico guarder\'ia C})=0,10\cdot 0,45=0,045$

$P(\text{chico guarder\'ia A, B o C})=0,27+0,135+0,045=\bm{0,45}$

Alıştırma 2

Bir ülkedeki 25 şirketin mali yılı incelendi ve hisse senedi fiyatlarının o yılın ekonomik sonuçlarına göre nasıl değiştiği incelendi. Toplanan verileri aşağıdaki acil durum tablosunda görebilirsiniz:

Bir şirketin kar elde etmesi ve aynı zamanda hisse senedi fiyatlarının yükselmesi ihtimali ne kadardır?

Çözümü görün

Bu durumda olaylar bağımlıdır çünkü hisse senetlerinin yukarı veya aşağı gitme olasılığı ekonomik sonuca bağlıdır. Bu nedenle bağımlı olaylar için çarpma kuralı formülünü uygulamamız gerekir:

$P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})$

Bu nedenle öncelikle bir şirketin kar elde etme olasılığını, ikinci olarak da şirketin ekonomik kar elde ettiğinde hisselerinin artma olasılığını hesaplıyoruz:

$P(\text{beneficio})=\cfrac{14}{25}=0,56$

$P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\cfrac{10}{14}=0,71$

Daha sonra hesaplanan değerleri formülde yerine koyarız ve ortak olasılığı hesaplarız:

$\begin{array}{l}P(\text{beneficio}\cap\text{precio sube})}=\\[2ex]=P(\text{beneficio})\cdot P(\text{precio sube}|\text{beneficio})=\\[2ex]= 0,56\cdot 0,71=\\[2ex] =\bm{0,4} \end{array}$

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil