Dağıtım işlevi
Bu yazıda dağıtım fonksiyonunun açıklamasını, değerlerinin nasıl hesaplandığını ve dağıtım fonksiyonunun gerçek dünyadan bir örneğini bulacaksınız. Ayrıca dağılım fonksiyonu ile yoğunluk fonksiyonu arasındaki farkları da görebileceksiniz.
Dağıtım fonksiyonu nedir?
Kümülatif dağılım fonksiyonu olarak da adlandırılan dağılım fonksiyonu , bir dağılımın kümülatif olasılığını gösteren matematiksel bir fonksiyondur. Yani herhangi bir değere ait dağılım fonksiyonunun görüntüsü, değişkenin o değeri veya daha düşük bir değeri alma olasılığına eşittir.
Kümülatif dağıtım fonksiyonu, genel sembolü büyük F olmasına rağmen FDA kısaltmasıyla da anılabilir.
Bu nedenle dağıtım fonksiyonu aşağıdaki formülle tanımlanır:
Dağıtım fonksiyonu nasıl hesaplanır
Daha sonra olasılık dağılımının kesikli veya sürekli olmasına bağlı olarak dağılım fonksiyonunun değerinin nasıl hesaplanacağını açıklıyoruz.
Gizli kutu
Rastgele değişken ayrık ise, kümülatif dağılım fonksiyonu x’e eşit veya ondan küçük tüm değerlerin olasılıklarının toplamına eşittir.
Altın
ayrık değişkenle ilişkili olasılık fonksiyonudur.
Devam eden dava
Rastgele değişken sürekli ise, kümülatif dağılım fonksiyonu yoğunluk fonksiyonunun eksi sonsuzdan söz konusu değere kadar olan integraline eşdeğerdir.
Altın
sürekli değişkenle ilişkili yoğunluk fonksiyonudur.
Dağıtım Fonksiyonu Örneği
Artık dağıtım fonksiyonunun tanımını bildiğimize göre, bir dağıtım fonksiyonu değerinin nasıl hesaplanacağını öğrenmek için adım adım pratik bir örneğe bakalım.
- Bir madeni paranın dört kez atılmasıyla ilgili rastgele deney için dağılım fonksiyonunu hesaplayın.
Alıştırmayı çözmek için öncelikle dört yazı-tura atışı sırasında elde edilen tura sayısıyla ilgili tüm olasılıkları hesaplamanız gerekir:
Dolayısıyla kesikli bir değişken olduğundan dağılım fonksiyonunun görüntülerini belirlemek için söz konusu değişkenin değerine kadar olasılıkları toplamak yeterlidir:
Böylece dört bağımsız paranın atılmasıyla tura atılmasının dağılım fonksiyonunun değerleri aşağıdaki gibidir:
Dağıtım fonksiyonunun özellikleri
Değişkenin türünden bağımsız olarak dağıtım fonksiyonu her zaman aşağıdaki özelliklere sahiptir:
- Kümülatif dağılım fonksiyonunun değeri 0 ile 1 dahil arasındadır.
- X sonsuza giderken bir dağılım fonksiyonunun limiti 1’e eşittir.
- Öte yandan, x eksi sonsuza yaklaşırken bir dağılım fonksiyonunun limiti sıfırdır.
- Özellikleri gereği dağılım fonksiyonu monotondur ve azalmaz.
- Ayrıca, eğer
aşağıdaki denklemler sağlanır.
*** QuickLaTeX cannot compile formula: \begin{array}{l}P(X < a) = F(a^-)\\[2ex] P(X>a)=1-F(a)\\[2ex]P(X \ge a )=1-F(a^-)\\[2ex]P(a<ul><li> Finally, if the statistical variable is continuous, the following equality is satisfied: </li></ul>[latex ]\begin{array}{l}P(a \le X < b) = \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)- F(a)\end{array} *** Error message: Missing $ inserted. leading text: \begin{array}{l} Please use \mathaccent for accents in math mode. leading text: ... the statistical variable is continuous, the Please use \mathaccent for accents in math mode. leading text: ...iable statistic is continuous, equality \begin{array} on input line 8 ended by \end{document}. leading text: \end{document} Improper \prevdepth. leading text: \end{document} Missing $ inserted. leading text: \end{document} Missing } inserted. leading text: \end{document} Missing \cr inserted. leading text: \end{document} Missing $ inserted. leading text: \end{document} You can't use `\end' in internal vertical mode. leading text: \end{document} \begin{array} on input line 8 ended by \end{document}. leading text: \end{document}
Dağıtım fonksiyonu ve yoğunluk fonksiyonu
Son olarak, bu iki istatistiksel kavram sıklıkla karıştırıldığı için dağılım fonksiyonu ile yoğunluk fonksiyonu arasındaki farkın ne olduğunu göreceğiz.
Dağılım fonksiyonu ile yoğunluk fonksiyonu arasındaki fark, tanımladıkları olasılık türüdür. Yoğunluk fonksiyonu değişkenin belirli bir değer alma olasılığını, dağılım fonksiyonu ise değişkenin kümülatif olasılığını açıklar.
Yani değişkenin belirli bir değere eşit veya daha küçük olma olasılığını hesaplamak için dağılım fonksiyonu kullanılır.
Yoğunluk fonksiyonunun yalnızca sürekli değişkenlere atıfta bulunduğunu, dolayısıyla bu ayrımın yalnızca üzerinde çalışılan değişkenin sürekli olması durumunda anlamlı olduğunu unutmayın.
Ortalaması 1 ve standart sapması 0,5 olan normal bir dağılım izleyen bir değişkenin yoğunluk fonksiyonuyla karşılaştırıldığında dağılım fonksiyonunun grafiksel gösteriminin nasıl değiştiğine dikkat edin:
Yoğunluk işlevi hakkında daha fazla bilgi edinmek için aşağıdaki makaleye bakın: