"en az üç" başarı olasılığı nasıl bulunur?

Bir dizi denemede en az üç başarı olasılığını bulmak için aşağıdaki genel formülü kullanabiliriz:

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

Yukarıdaki formülde, binom dağılımı için aşağıdaki formülü kullanarak her olasılığı hesaplayabiliriz:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Altın:

• n: deneme sayısı
• k: başarı sayısı
• p: belirli bir denemede başarı olasılığı
• _n C _k : n denemede k başarı elde etmenin yollarının sayısı

Aşağıdaki örnekler, farklı senaryolarda “en az üç” başarı olasılığını bulmak için bu formülün nasıl kullanılacağını göstermektedir.

Örnek 1: Serbest atış denemeleri

Ty serbest atış denemelerinin %25’ini yapıyor. Eğer 5 serbest atış atarsa en az üç atış yapma olasılığını bulun.

Öncelikle tam olarak sıfır, tam olarak bir veya tam olarak iki serbest atış yapma olasılığını hesaplayalım:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,25 ² * (1-0,25) ^5-2 = 10 * 0,0625 * 0,75 ³ = 0,2636

Daha sonra Ty’ın en az üç serbest atış yapma olasılığını bulmak için bu değerleri aşağıdaki formüle yerleştirelim:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,2373 – 0,3955 – 0,2636
• P(X≥3) = 0,1036

Ty’ın beş denemede en az üç serbest atış yapma olasılığı 0,1036’dır .

Örnek 2: Widget’lar

Belirli bir fabrikada tüm aletlerin %2’si kusurludur. 10 aletten oluşan rastgele bir örnekte en az ikisinin kusurlu olma olasılığını belirleyin.

Öncelikle tam olarak sıfırın, tam olarak birin veya tam olarak ikisinin kusurlu olma olasılığını hesaplayalım:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0,02 ² * (1-0,02) ^10-2 = 45 * 0,0004 * 0,98 ⁸ = 0,0153

Daha sonra, en az üç widget’ın hatalı olma olasılığını bulmak için bu değerleri aşağıdaki formüle yerleştirelim:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,8171 – 0,1667 – 0,0153
• P(X≥3) = 0,0009

Bu rastgele 10 örnekte en az üç aletin kusurlu olma olasılığı 0,0009’dur .

Örnek 3: Trivia soruları

Bob, önemsiz soruların %60’ını doğru yanıtlıyor. Ona 5 önemsiz soru sorarsak, en az üçünü doğru cevaplama olasılığını bulun.

Öncelikle tam olarak sıfır, tam olarak bir veya tam olarak ikiyi doğru yanıtlama olasılığını hesaplayalım:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,60 ² * (1-0,60) ^5-2 = 10 * 0,36 * 0,40 ³ = 0,2304

Daha sonra bu değerleri aşağıdaki formüle yerleştirerek en az üç soruyu doğru yanıtlama olasılığını bulalım:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,01024 – 0,0768 – 0,2304
• P(X≥3) = 0,6826

Beş sorudan en az üçüne doğru cevap verme olasılığı 0,6826’dır .

Bonus: En az üç hesaplayıcının olasılığı

Belirli bir denemedeki başarı olasılığına ve toplam deneme sayısına bağlı olarak “en az üç” başarı olasılığını otomatik olarak bulmak için bu hesaplayıcıyı kullanın.