Etkinliklerle yapılan işlemler

Burada olaylarla hangi işlemlerin yapılabileceğini ve olaylarla yapılan her işlem türünün nasıl hesaplandığını açıklıyoruz. Ayrıca olaylarla yapılan işlemlere ilişkin adım adım alıştırmalarla pratik yapabilirsiniz.

Olaylarla işlem türleri

Olasılık teorisinde olaylarla ilgili üç tür işlem vardır:

• Olayların birliği : Bir olayın veya diğerinin meydana gelme olasılığıdır.
• Olayların kesişmesi : İki veya daha fazla olayın ortak olasılığıdır.
• Olay Farkı : Bir olayın meydana gelmesi ancak aynı anda başka bir olayın meydana gelmeme olasılığıdır.

Her bir olay operasyonu tipini basitçe tanımlayarak, her bir operasyon tipinin nasıl gerçekleştirildiğini anlamak zordur. Bu nedenle aşağıda üç işlemi daha ayrıntılı olarak açıklayacağız.

olayların birliği

A ve B gibi iki olayın birleşimi, A olayının, B olayının veya her iki olayın aynı anda meydana gelme olasılığıdır.

İki farklı olayın birleşiminin simgesi U’dur, dolayısıyla iki olayın birleşimi, olayları temsil eden iki harfin ortasındaki U ile ifade edilir.

İki olayın birleşme olasılığı, her bir olayın meydana gelme olasılığı toplamı eksi iki olayın kesişme olasılığına eşittir.

Örneğin, zar atıldığında “çift sayı gelme” veya “4’ten büyük sayı gelme” olaylarının olasılığını hesaplayacağız.

Zar atıldığında çift sayı elde etmenin üç olasılığı vardır (2, 4 ve 6), dolayısıyla olayın meydana gelme olasılığı:

Öte yandan, dörtten büyük yalnızca iki sayı vardır (5 ve 6), bu nedenle olasılıkları:

Ve iki olayın kesişimi her iki olayda da görünen sayılara karşılık gelir, yani:

Kısaca A ve B olaylarının birleştirilmesiyle gerçekleşme olasılığı:

olayların kesişimi

A ve B olaylarının kesişimi, A ve B olaylarının aynı anda meydana gelme olasılığıdır.

İki olayın kesişimini gösteren sembol ters U ile temsil edilir.

İki olayın kesişme olasılığı, her bir olayın ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir.

Açıkçası, iki olayın kesişme olasılığını hesaplamak için bu iki olayın uyumlu olması gerekir.

Örnek olarak, zarın atılması sırasında “çift sayı alma” ve “4’ten büyük sayı alma” olaylarının kesişme olasılığını bulacağız.

Yukarıda hesapladığımız gibi her bir olayın ayrı ayrı gerçekleşme olasılığı:

Dolayısıyla iki olayın kesişme olasılığı, her bir olayın olasılığının çarpımı olacaktır:

olayların farklılığı

A eksi B iki olayının farkı , A’nın B’de olmayan tüm temel olaylarına karşılık gelir. Başka bir deyişle, A eksi B iki olayının farkında A olayı karşılanır, ancak B olayı aynı anda karşılanamaz.

A ve B olayları arasındaki fark olasılığı, A olayının meydana gelme olasılığı eksi A ve B tarafından paylaşılan temel olayların meydana gelme olasılığına eşittir.

Önceki iki işlem türünde olduğu gibi aynı örneği takip ederek, bunun gerçekleşme olasılığını, zar atıldığında “çift sayı elde etme” eksi “4’ten büyük sayı elde etme” olayının farkından belirleyeceğiz.

A, B olaylarının ve bunların kesişme olasılıkları aşağıdaki gibidir (yukarıda ayrıntılı hesaplamayı görebilirsiniz):

Bu nedenle iki olay arasındaki farkın ortaya çıkma olasılığı şu şekildedir:

Merak konusu olarak AB olaylarının farklılığı aynı zamanda A olayı ile B olayının tamamlayıcı (veya zıttı) olayının kesişimine eşdeğer olma özelliğine de sahiptir.

Olaylarla işlemlere ilişkin çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Altı yüzlü bir zar atıldığında tek sayı gelme veya 3’ten küçük sayı gelme olasılığı nedir?

Bu alıştırmada şu veya bu olayın meydana gelme olasılığını hesaplamalıyız, dolayısıyla iki olayın birleşme olasılığını bulmalıyız.

Bu nedenle ilk önce Laplace yasasını uygulayarak tek sayı elde etme olasılığını hesaplıyoruz:

İkinci olarak 3’ten küçük bir sayı alma olasılığını belirliyoruz:

Şimdi olaylarda tekrar eden temel olayların olasılığını hesaplayalım ki bu sadece 1 sayısıdır (yalnızca tek sayı 3’ten küçüktür):

Ve son olarak, olasılıklarını bulmak için iki olayın birleşimi formülünü uyguluyoruz:

Alıştırma 2

Bir kutuya 3 turuncu, 2 mavi ve 5 beyaz top koyuyoruz. Bir topu alıp kutuya geri koymak ve ardından başka bir topu çıkarmak gibi rastgele bir deney yapıyoruz. Birinci topun mavi, ikincinin turuncu top çekme olasılığı nedir?

Bu sorunu çözmek için iki olayın kesişimini hesaplamalıyız çünkü her iki temel olayın da doğru olmasını istiyoruz.

Bu nedenle ilk olarak Laplace kuralını uygulayarak mavi topun yakalanma olasılığını hesaplıyoruz:

Daha sonra turuncu bir top elde etme olasılığını buluyoruz:

Ve son olarak, bulunan iki olasılığı çarparak iki olayın kesişme olasılığını hesaplıyoruz:

Sonuç olarak, ilk denemede mavi topu, ikinci denemede turuncu topu yakalama şansı yalnızca %6’dır.

Alıştırma 3

Marta’nın bir sınavı geçme olasılığı 1/3, Juan’ın da aynı sınavı geçme olasılığı 2/5’tir. Marta’nın başarılı, Juan’ın ise başarısız olma olasılığı nedir?

Bu alıştırmada iki olay arasındaki farkı hesaplamamız gerekiyor çünkü Marta’nın onaylamasını istiyoruz ama Juan’ın onaylamamasını istiyoruz. Bunu yapmak için, olaylarla bu tür işlemlere yönelik formülü kullanmanız yeterlidir:

Marta’nın başarılı olması ve Juan’ın aynı anda başarısız olması olasılığı bu nedenle %20’dir.