Geometrik dağılım

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 3, 2023 Olasılık 0 Yorum

Bu makalede istatistikte geometrik dağılımın ne olduğu açıklanmaktadır. Bu nedenle geometrik dağılımın tanımını, geometrik dağılım örneklerini ve bu tür olasılık dağılımının özelliklerini bulacaksınız. Ek olarak, çevrimiçi bir hesap makinesiyle geometrik dağılımın herhangi bir olasılığını hesaplayabilirsiniz.

Geometrik dağılım nedir?

Geometrik dağılım, ilk başarılı sonucu elde etmek için gereken Bernoulli denemelerinin sayısını tanımlayan bir olasılık dağılımıdır.

Yani, Bernoulli deneylerinden biri pozitif sonuç elde edene kadar tekrarlanan süreçlerin geometrik dağılım modelleri.

Bernoulli testinin iki olası sonucu olan bir deney olduğunu unutmayın: “başarı” ve “başarısızlık”. Yani “başarı” olasılığı p ise, “başarısızlık” olasılığı q=1-p’dir .

Bu nedenle geometrik dağılım, gerçekleştirilen tüm deneylerin başarı olasılığı olan p parametresine bağlıdır. Ayrıca p olasılığı tüm deneyler için aynıdır.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

Benzer şekilde geometrik dağılım da ilk başarıdan önceki başarısızlıkların sayısı olarak tanımlanabilir. Bu durumda dağılım x=0 değerini alabilir ve formülü biraz değişir. Ancak en yaygın olanı bu bölümün başında açıklanan geometrik dağılımın tanımına dönmektir.

Geometrik Dağılım Örnekleri

Geometrik dağılımın tanımını gördükten sonra, bu bölümde bu tür dağılıma uyan rastgele değişkenlerin birkaç örneği gösterilmektedir.

Geometrik dağılım örnekleri:

Yazı elde edilene kadar yapılan yazı-tura sayısı.
Kırmızı bir araba görene kadar yoldan geçen araba sayısı.
Bir kişinin, geçene kadar direksiyon sınavına kaç kez girmesi gerektiğidir.
6 rakamı atılana kadar yapılan zar atışlarının sayısı.
Bir gol atılana kadar yapılması gereken serbest atış sayısı.

Geometrik dağılım formülü

Geometrik bir dağılımda, pozitif bir sonuç elde etmek için x deneme yapmak zorunda kalma olasılığı, p çarpı (1-p) parametresinin x-1 kuvvetinin çarpımıdır.

Bu nedenle geometrik dağılımın olasılığını hesaplama formülü şöyledir:

👉Geometrik dağılıma uyan bir değişkenin olasılığını hesaplamak için aşağıdaki hesaplayıcıyı kullanabilirsiniz.

Öte yandan geometrik dağılımın kümülatif olasılığını hesaplamayı mümkün kılan dağılım fonksiyonunun formülü şu şekildedir:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

Geometrik dağılım alıştırması çözüldü

Zarın üçüncü atışında 5 sayısının gelme olasılığı nedir?

Bu problemin olasılık dağılımı, başarılı bir sonuç elde etmek için gerekli olan atış sayısını (üç) (5 sayısı) tanımladığından geometrik bir dağılımdır.

Bu nedenle öncelikle her fırlatmanın başarı olasılığını hesaplamalıyız. Bu durumda, altı olası sonuçtan yalnızca bir pozitif sonuç vardır, dolayısıyla p olasılığı:

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

Daha sonra alıştırmanın bize sorduğu olasılığı belirlemek için geometrik dağılım formülünü uyguluyoruz:

$\begin{aligned}\displaystyle P[X=x]&=(1-p)^{x-1}\cdot p\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1}\cdot \frac{1}{6}\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=0,1157\end{aligned}$

Geometrik dağılım özellikleri

Geometrik dağılım aşağıdaki özellikleri karşılar:

Geometrik dağılımın, gerçekleştirilen deneylerin her birinin başarı olasılığı olan p karakteristik bir parametresi vardır.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} of each experiment carried out.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...0 <ul><li> The mean of the general distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...><li> The mean of the geometric distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...ne of the geometric distribution is
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the geometric distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...geometric tion is equal to one divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...st equals one divided by probability
Please use \mathaccent for accents in math mode.

Geometrik dağılımın varyansı, 1 eksi p bölü p’nin karesi farkına eşdeğerdir.

$Var(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$

Geometrik dağılımın kütle fonksiyonunun formülü şöyledir:

$P[X=x]=(1-p)^{x-1}\cdot p$

Benzer şekilde geometrik dağılımın kümülatif olasılık fonksiyonu formülü şöyledir:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

Geometrik dağılım, negatif binom dağılımının özel bir durumudur. Daha doğrusu bu, r=1 parametresi ile negatif binom dağılımına eşdeğerdir.

$X\sim \text{BN}(1,p) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ Bakınız: Negatif binom dağılımı
➤ Bakınız: Binom dağılımı

Geometrik Dağılım Hesaplayıcı

Olasılığı hesaplamak için p parametresinin değerini ve x’in değerini aşağıdaki hesap makinesine girin. Hesaplamak istediğiniz olasılığı seçmeniz ve ondalık ayırıcı olarak noktayı kullanarak sayıları girmeniz gerekir, örneğin 0,1667.

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil