Korelasyon katsayısı için güven aralığı

Bir korelasyon katsayısı için güven aralığı, belirli bir güven düzeyine sahip bir popülasyon korelasyon katsayısını içermesi muhtemel bir değer aralığıdır.

Bu eğitimde aşağıdakiler açıklanmaktadır:

• Bu tür bir güven aralığı yaratmanın motivasyonu.
• Bu tür bir güven aralığı oluşturmanın formülü.
• Bu tür bir güven aralığının nasıl oluşturulacağına dair bir örnek.
• Bu tür bir güven aralığı nasıl yorumlanır?

Korelasyon katsayısı için güven aralığı: motivasyon

Korelasyon katsayısı için güven aralığı oluşturmamızın nedeni, popülasyon korelasyon katsayısını tahmin ederken belirsizliğimizi yakalamaktır.

Örneğin, belirli bir ilçede yaşayanların boy ve kiloları arasındaki korelasyon katsayısını tahmin etmek istediğimizi varsayalım. İlçede binlerce sakin bulunduğundan, etrafta dolaşıp her sakinin boyu ve kilosu hakkında bilgi toplamak çok pahalı ve zaman alıcı olacaktır.

Bunun yerine, sakinlerden basit ve rastgele bir örnek seçip onlar hakkında bilgi toplayabiliriz.

Sakinlerden rastgele bir örnek seçtiğimiz için, bu örneklenen sakinlerin boy ve kiloları arasındaki korelasyon katsayısının daha büyük popülasyonun korelasyon katsayısıyla tam olarak eşleşeceğinin garantisi yoktur.

Dolayısıyla, bu belirsizliği yakalamak için o ilçede yaşayanların boy ve kiloları arasındaki gerçek korelasyon katsayısını içermesi muhtemel bir dizi değer içeren bir güven aralığı oluşturabiliriz.

Korelasyon katsayısı için güven aralığı: formül

Örneklem boyutu n ve örnek korelasyon katsayısı r’ye dayalı olarak bir popülasyon korelasyon katsayısı için bir güven aralığı hesaplamak üzere aşağıdaki adımları kullanırız.

Adım 1: Fisher Dönüşümünü gerçekleştirin.

z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2 olsun

Adım 2: Logun üst ve alt limitlerini bulun.

L = z _r – (z _1-α/2 /√ n-3 ) olsun

U = z _r + (z _1-α/2 /√ n-3 ) olsun

Adım 3: Güven aralığını bulun.

Nihai güven aralığı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Güven aralığı = [(e ^2L -1)/(e ^2L +1), (e ^2U -1)/(e ^2U +1)]

Korelasyon katsayısı için güven aralığı: örnek

Belirli bir ilçede yaşayanların boy ve kiloları arasındaki korelasyon katsayısını tahmin etmek istediğimizi varsayalım. 30 sakinden rastgele bir örnek seçiyoruz ve aşağıdaki bilgileri buluyoruz:

• Örneklem büyüklüğü n = 30
• Boy ve kilo arasındaki korelasyon katsayısı r = 0,56

Popülasyon korelasyon katsayısı için %95 güven aralığını şu şekilde bulabilirsiniz:

Adım 1: Fisher Dönüşümünü gerçekleştirin.

z _r = ln((1+r) / (1-r)) / 2 = ln((1+.56) / (1-.56)) / 2 = 0.6328 olsun

Adım 2: Logun üst ve alt limitlerini bulun.

L = z _r – (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 – (1,96 /√ 30-3 ) = 0,2556 olsun

U = z _r + (z _1-α/2 /√ n-3 ) = 0,6328 + (1,96 /√ 30-3 ) = 1,01 olsun

Adım 3: Güven aralığını bulun.

Güven aralığı = [(e ^2L -1)/(e ^2L +1), (e ^2U -1)/(e ^2U +1)]

Güven aralığı = [(e ^2(.2556) -1)/(e ^2(.2556) +1), (e ^2(1.01) -1)/(e ^2(1.01) +1)] = [. 2502, .7658]

Not: Bu güven aralığını Korelasyon Katsayısı Hesaplayıcısı için Güven Aralığını kullanarak da bulabilirsiniz.

Korelasyon katsayısı için güven aralığı: yorumlama

Bir güven aralığını yorumlama şeklimiz şu şekildedir:

[0,2502, 0,7658] güven aralığının o ilçe sakinlerinin boyu ve kilosu arasındaki gerçek nüfus korelasyon katsayısını içerme olasılığı %95’tir.

Aynı şeyi söylemenin başka bir yolu da, gerçek popülasyon korelasyon katsayısının %95 güven aralığının dışında kalma ihtimalinin yalnızca %5 olduğudur.

Yani, bu ilçede yaşayanların boy ve kiloları arasındaki gerçek nüfus korelasyon katsayısının 0,2502’den az veya 0,7658’den büyük olma ihtimali yalnızca %5’tir.