Güven aralıkları nasıl hesaplanır: 3 örnek problem

Bir ortalama için güven aralığı, belirli bir güven düzeyine sahip bir popülasyon ortalamasını içermesi muhtemel bir değer aralığıdır.

Bir ortalamanın güven aralığını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Güven aralığı = x +/- t*(s/√ n )

Altın:

• x : örnek ortalama
• t: t’nin kritik değeri
• s: numune standart sapması
• n: örneklem büyüklüğü

Not : Popülasyon standart sapması (σ) biliniyorsa ve örneklem büyüklüğü 30’dan büyükse, formülde kritik değeri az kritik değer ile değiştiririz.

Aşağıdaki örnekler, üç farklı senaryoda ortalama için güven aralığının nasıl oluşturulacağını gösterir:

• Nüfus standart sapması (σ) bilinmiyor
• Popülasyon standart sapması (σ) biliniyor ancak n ≤ 30
• Popülasyon standart sapması (σ) biliniyor ve n > 30

Hadi gidelim!

Örnek 1: σ bilinmediğinde güven aralığı

Belirli bir bitki türünün ortalama yüksekliği (inç cinsinden) için %95’lik bir güven aralığı hesaplamak istediğimizi varsayalım.

Aşağıdaki bilgileri içeren basit bir rastgele örnek topladığımızı varsayalım:

• örnek ortalaması ( x ) = 12
• örneklem büyüklüğü (n) = 19
• numune standart sapması (s) = 6,3

Bu güven aralığını oluşturmak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

• %95 GA = x +/- t*(s/√ n )
• %95 GA = 12 +/- t _{n-1, α/2} *(6,3/√ 19 )
• %95 GA = 12 +/- t _18,025 *(6,3/√ 19 )
• %95 GA = 12 +/- 2,1009*(6,3/√ 19 )
• %95 GA = (8,964, 15,037)

Bu özel bitki türünün ortalama popülasyon yüksekliğine ilişkin %95 güven aralığı (8,964 inç, 15,037 inç) şeklindedir.

Not #1 : 18 serbestlik derecesi ve 0,95 güven düzeyi ile ilişkili kritik t değerini bulmak için ters t dağılımı hesaplayıcısını kullandık.

Not #2 : Popülasyon standart sapması (σ) bilinmediğinden güven aralığını hesaplarken kritik t değerini kullandık.

Örnek 2: σ bilindiği halde n ≤ 30 olduğunda güven aralığı

Belirli bir üniversiteye giriş sınavının ortalama puanı için %99’luk bir güven aralığı hesaplamak istediğimizi varsayalım.

Aşağıdaki bilgileri içeren basit bir rastgele örnek topladığımızı varsayalım:

• örnek ortalaması ( x ) = 85
• örneklem büyüklüğü (n) = 25
• popülasyon standart sapması (σ) = 3,5

Bu güven aralığını oluşturmak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

• %99 GA = x +/- t*(s/√ n )
• %99 GA = 85 +/- t _{n-1, α/2} *(3,5/√ 25 )
• %99 GA = 85 +/- t _24,005 *(3,5/√ 25 )
• %99 GA = 85 +/- 2,7969*(3,5/√ 25 )
• %99 GA = (83.042, 86.958)

Nüfusun bu üniversiteye giriş sınavındaki ortalama puanı için %99 güven aralığı (83.042, 86.958)’ dir.

Not #1 : 24 serbestlik derecesi ve 0,99 güven düzeyi ile ilişkili kritik t değerini bulmak için ters t dağılımı hesaplayıcısını kullandık.

Not #2 : Popülasyon standart sapması (σ) bilindiği halde örneklem büyüklüğü (n) 30’dan küçük olduğundan, güven aralığını hesaplarken kritik değer t’yi kullandık.

Örnek 3: σ bilindiğinde ve n > 30 olduğunda güven aralığı

Belirli bir kaplumbağa türünün ortalama ağırlığı için %90’lık bir güven aralığı hesaplamak istediğimizi varsayalım.

Aşağıdaki bilgileri içeren basit bir rastgele örnek topladığımızı varsayalım:

• örnek ortalama ( x ) = 300
• örneklem büyüklüğü (n) = 40
• popülasyon standart sapması (σ) = 15

Bu güven aralığını oluşturmak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

• %90 GA = x +/- z*(σ/√ n )
• %90 GA = 300 +/- 1,645*(15/√ 40 )
• %90 GA = (296.099, 303.901)

Bu kaplumbağa türünün ortalama popülasyon ağırlığı için %90 güven aralığı (83.042, 86.958)’ dir.

Not #1 : 0,1 anlamlılık düzeyiyle ilişkili kritik z değerini bulmak için Kritik Z Değeri Hesaplayıcısını kullandık.

Not #2 : Popülasyon standart sapması (σ) bilindiğinden ve örneklem büyüklüğü (n) 30’dan büyük olduğundan güven aralığını hesaplarken kritik z değerini kullandık.

Ek kaynaklar

Aşağıdaki eğitimler güven aralıkları hakkında ek bilgi sağlar:

Gerçek Hayattan 4 Güven Aralığı Örneği
Güven Aralığı Sonucu Nasıl Yazılır
Kontrol edilecek 6 güven aralığı hipotezi