Bir standart sapma için güven aralığı

Standart sapma için güven aralığı, belirli bir güven düzeyine sahip bir popülasyon standart sapmasını içermesi muhtemel bir değer aralığıdır.

Bu eğitimde aşağıdakiler açıklanmaktadır:

• Bu güven aralığını yaratma motivasyonu.
• Bu güven aralığını oluşturmanın formülü.
• Bu güven aralığının nasıl hesaplanacağına dair bir örnek.
• Bu güven aralığı nasıl yorumlanır?

Bir standart sapma için güven aralığı: motivasyon

Standart sapma için bir güven aralığı oluşturmamızın nedeni, popülasyon standart sapmasını tahmin ederken belirsizliğimizi yakalamak istememizdir.

Örneğin, Florida’daki belirli bir kaplumbağa türünün ağırlığının standart sapmasını tahmin etmek istediğimizi varsayalım. Florida’da binlerce kaplumbağa olduğundan, etrafta dolaşıp her kaplumbağayı ayrı ayrı tartmak son derece zaman alıcı ve pahalı olacaktır.

Bunun yerine, 50 kaplumbağadan oluşan basit bir rastgele örnek alabilir ve gerçek popülasyon standart sapmasını tahmin etmek için bu örnekteki kaplumbağaların ağırlığının standart sapmasını kullanabiliriz:

Sorun, örneklem standart sapmasının tüm popülasyonun standart sapmasına tam olarak uymasının garanti edilememesidir. Dolayısıyla, bu belirsizliği yakalamak için gerçek popülasyon standart sapmasını içermesi muhtemel bir dizi değer içeren bir güven aralığı oluşturabiliriz.

Bir standart sapma için güven aralığı: formül

Bir ortalamanın güven aralığını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Güven aralığı = [√(n-1)s ² /X ² _α/2 , √(n-1)s ² /X ² _1-α/2 ]

Altın:

• n: örneklem büyüklüğü
• s: numune standart sapması
• X ² : n-1 serbestlik derecesine sahip Ki karenin kritik değeri.

Standart sapma için güven aralığı: örnek

Aşağıdaki bilgileri içeren rastgele bir kaplumbağa örneği topladığımızı varsayalım:

• Örneklem büyüklüğü n = 27
• Örneklem standart sapması s = 6,43

Gerçek popülasyon standart sapması için farklı güven aralıklarını nasıl bulacağınız aşağıda açıklanmıştır:

%90 güven aralığı: [ √ (27-1)*6,43 ² /38,885, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 15,379) = [5,258, 8,361]

%95 güven aralığı: [ √ (27-1)*6,43 ² /41,923, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 13,844) = [5,064, 8,812]

%99 güven aralığı: [ √ (27-1)*6,43 ² /48,289, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 11,160) = [4,718, 9,814]

Not: Bu güven aralıklarını Standart Sapma Hesaplayıcısı için Güven Aralığı’nı kullanarak da bulabilirsiniz.

Bir standart sapma için güven aralığı: yorumlama

Bir güven aralığını yorumlama şeklimiz şu şekildedir:

[5,064, 8,812] güven aralığının gerçek popülasyon standart sapmasını içerme olasılığı %95’tir.

Aynı şeyi söylemenin başka bir yolu da, gerçek popülasyon standart sapmasının %95 güven aralığının dışında olma ihtimalinin yalnızca %5 olduğudur. Yani, gerçek popülasyon standart sapmasının 8.812’den büyük veya 5.064’ten küçük olma ihtimali yalnızca %5’tir.