Güven aralıkları nedir?

İstatistiklerde sıklıkla nüfus parametrelerinin , yani tüm nüfusun belirli özelliklerini tanımlayan sayıların ölçülmesiyle ilgileniriz.

En yaygın popülasyon parametrelerinden ikisi şunlardır:

1. Nüfus anlamı: bir nüfustaki bir değişkenin ortalama değeri (örneğin, Amerika Birleşik Devletleri’ndeki erkeklerin ortalama boyu)

2. Nüfus oranı: Bir değişkenin nüfus içindeki oranı (örneğin, belirli bir yasayı destekleyen bir ilçede yaşayanların oranı)

Bu parametreleri ölçmek istesek bile, popülasyon parametresini hesaplamak için popülasyondaki her bireye ilişkin veri toplamak genellikle çok pahalı ve zaman alıcıdır.

Bunun yerine, genel popülasyondan rastgele bir örnek alırız ve örnek verileri popülasyon parametresini tahmin etmek için kullanırız.

Örneğin Florida’daki belirli bir kaplumbağa türünün ortalama ağırlığını tahmin etmek istediğimizi varsayalım. Florida’da binlerce kaplumbağa olduğundan, etrafta dolaşıp her kaplumbağayı ayrı ayrı tartmak son derece zaman alıcı ve pahalı olacaktır.

Bunun yerine, 50 kaplumbağadan oluşan basit bir rastgele örnek alabilir ve gerçek popülasyon ortalamasını tahmin etmek için bu örnekteki kaplumbağaların ortalama ağırlığını kullanabiliriz:

Sorun, numunedeki kaplumbağaların ortalama ağırlığının, tüm popülasyondaki kaplumbağaların ortalama ağırlığına tam olarak uymasının garanti edilememesidir. Örneğin, düşük ağırlıklı kaplumbağalarla dolu bir örnek veya ağır kaplumbağalarla dolu bir örnek seçebiliriz.

Bu belirsizliği yakalamak için bir güven aralığı oluşturabiliriz. Güven aralığı, belirli bir güven düzeyine sahip bir popülasyon parametresini içermesi muhtemel bir değer aralığıdır. Aşağıdaki genel formüle göre hesaplanır:

Güven aralığı = (nokta tahmini) +/- (kritik değer)* (standart hata)

Bu formül, muhtemelen belirli bir güven düzeyine sahip bir popülasyon parametresi içeren, alt sınırı ve üst sınırı olan bir aralık oluşturur.

Güven aralığı = [alt sınır, üst sınır]

Örneğin, popülasyon ortalaması için güven aralığını hesaplama formülü şöyledir:

Güven aralığı = x +/- z*(s/√ n )

Altın:

• x : örnek ortalama
• z: seçilen z değeri
• s: numune standart sapması
• n: örneklem büyüklüğü

Kullandığınız z değeri seçtiğiniz güven düzeyine bağlıdır. Aşağıdaki tabloda en yaygın güven düzeyi seçeneklerine karşılık gelen z değeri gösterilmektedir:

Örneğin, aşağıdaki bilgilerle rastgele bir kaplumbağa örneği topladığımızı varsayalım:

• Örneklem büyüklüğü n = 25
• Ortalama numune ağırlığı x = 300
• Örneklem standart sapması s = 18,5

Gerçek popülasyon ortalama ağırlığı için %90 güven aralığını şu şekilde hesaplayabilirsiniz:

%90 güven aralığı: 300 +/- 1,645*(18,5/√25) = [293,91, 306,09]

Bu güven aralığını şu şekilde yorumluyoruz:

[293,91, 306,09] güven aralığının kaplumbağa popülasyonunun gerçek ortalama ağırlığını içerme olasılığı %90’dır.

Aynı şeyi söylemenin başka bir yolu da, gerçek popülasyon ortalamasının %90 güven aralığının dışında olma ihtimalinin yalnızca %10 olduğudur. Yani, kaplumbağa popülasyonunun gerçek ortalama ağırlığının 306,09 pounddan fazla veya 293,91 pounddan az olma ihtimali yalnızca %10’dur.

Bir güven aralığının boyutunu etkileyebilecek iki sayının olması hiçbir işe yaramaz:

1. Örneklem büyüklüğü: Örneklem büyüklüğü ne kadar büyük olursa, güven aralığı da o kadar dar olur.

2. Güven düzeyi: Güven düzeyi ne kadar yüksek olursa güven aralığı da o kadar geniş olur.

Güven Aralığı Türleri

Pek çok güven aralığı türü vardır. İşte en sık kullanılanlar:

Bir ortalama için güven aralığı

Bir ortalama için güven aralığı, belirli bir güven düzeyine sahip bir popülasyon ortalamasını içermesi muhtemel bir değer aralığıdır. Bu aralığı hesaplamak için formül aşağıdaki gibidir:

Güven aralığı = x +/- z*(s/√ n )

Altın:

• x : örnek ortalama
• z: seçilen z değeri
• s: numune standart sapması
• n: örneklem büyüklüğü

Kaynaklar:
Bir ortalama için güven aralığı nasıl hesaplanır
Ortalama bir hesap makinesi için güven aralığı

Ortalamalar arasındaki fark için güven aralığı

Ortalamalar arasındaki fark için bir güven aralığı (CI), belirli bir güven düzeyine sahip iki popülasyon ortalaması arasındaki gerçek farkı içermesi muhtemel bir değer aralığıdır. Bu aralığı hesaplamak için formül aşağıdaki gibidir:

Güven aralığı = ( x ₁ – x ₂ ) +/- t*√((s _p ² /n ₁ ) + (s _p ² /n ₂ ))

Altın:

• x ₁ , x ₂ : örnek 1’in ortalaması, örnek 2’nin ortalaması
• t: güven düzeyine ve (n ₁ + n ₂ -2) serbestlik derecesine dayalı t-kritik değeri
• _sp ² : birleştirilmiş varyans
• n ₁ , n ₂ : örneklem büyüklüğü 1, örneklem büyüklüğü 2

Altın:

• Birleştirilmiş varyans şu şekilde hesaplanır: s _p ² = ((n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² ) / (n ₁ +n ₂ -2)
• T-kritik değeri t, ters t dağılımı hesaplayıcısı kullanılarak bulunabilir.

Kaynaklar:
Ortalamalar arasındaki fark için güven aralığı nasıl hesaplanır?
Ortalamalar Hesaplayıcı Arasındaki Fark için Güven Aralığı

Bir orantı için güven aralığı

Bir orana ilişkin güven aralığı, belirli bir güven düzeyine sahip bir nüfus oranını içermesi muhtemel bir değer aralığıdır. Bu aralığı hesaplamak için formül aşağıdaki gibidir:

Güven aralığı = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

Altın:

• p: örnek oranı
• z: seçilen z değeri
• n: örneklem büyüklüğü

Kaynaklar:
Bir orantı için güven aralığı nasıl hesaplanır
Oran hesaplayıcı için güven aralığı

Oranlardaki fark için güven aralığı

Oranlardaki farka ilişkin güven aralığı, belirli bir güven düzeyine sahip iki nüfus oranı arasındaki gerçek farkı içermesi muhtemel bir değer aralığıdır. Bu aralığı hesaplamak için formül aşağıdaki gibidir:

Güven aralığı = (p ₁ –p ₂ ) +/- z*√(p ₁ (1-p ₁ )/n ₁ + p ₂ (1-p ₂ )/n ₂ )

Altın:

• p ₁ , p ₂ : 1. numunenin oranı, 2. numunenin oranı
• z: güven düzeyine dayalı z-kritik değeri
• n ₁ , n ₂ : örneklem büyüklüğü 1, örneklem büyüklüğü 2

Kaynaklar:
Oranlardaki fark için güven aralığı nasıl hesaplanır?
Oranlar hesaplayıcısındaki fark için güven aralığı