Hafızasız özellik nedir? (tanım & #038; örnek)

İstatistikte, gelecekteki bir olayın meydana gelme olasılığı geçmiş olayların meydana gelmesinden etkilenmiyorsa, bir olasılık dağılımının hafızasız bir özelliğe sahip olduğu söylenir.

Belleksiz özelliğe sahip yalnızca iki olasılık dağılımı vardır:

• Negatif olmayan gerçek sayılarla üstel dağılım .
• Negatif olmayan tam sayılarla geometrik dağılım .

Bu iki olasılık dağılımı, bir olay meydana gelmeden önce beklenen süreyi modellemek için kullanılır.

Herhangi bir zamanda, ne kadar zaman geçtiğini bilmenin aslında bize bir olayın er ya da geç gerçekleşme ihtimalinin daha yüksek olup olmadığını söylemediği ortaya çıktı.

Aşağıdaki örnekler hafızasızlık özelliği hakkında daha iyi bir sezgiye sahip olmamıza yardımcı olmaktadır.

Hafızasız bir mülkiyet sezgisi

Aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurun:

Hafıza olmadan olmaz

Belirli bir dizüstü bilgisayar markasının ölmeden önce ortalama 6 yıl kadar dayandığı biliniyor. Yani belirli bir dizüstü bilgisayarın 5 yaşında olduğunu biliyorsak, ölmesi için beklenen süre oldukça kısadır. Ancak başka bir dizüstü bilgisayar henüz 1 yaşındaysa, ölmesi için beklenen süre oldukça uzundur.

Bu örnekte, her bir dizüstü bilgisayarın ömrü boyunca ne kadar zaman geçtiğini bilmek, dizüstü bilgisayarın ölene kadar ne kadar süre çalışmaya devam edeceğini bize söyler. Yani bu olasılık dağılımının hafıza olmadan hiçbir özelliği olmayacaktır.

Bellek olmadan

Sanırım Jessica’nın bir marketi var. Bir sonraki müşteri mağazaya girene kadar ne kadar beklemesi gerektiğini bilmek istiyor.

Bu örnekte, mağazaya son müşterinin ne zaman girdiğini bilmek, bir sonraki müşterinin ne zaman gireceğini tahmin etmek açısından pek kullanışlı değildir çünkü her müşteri bağımsızdır ve bireysel davranış sergiler.

Yani bu olasılık dağılımı hafızasız bir özelliğe sahip olacaktır. Başka bir deyişle, gelecekteki bir olayın meydana gelme olasılığı, geçmişteki olayların meydana gelmesinden etkilenmez.

Hafızasız özellik: resmi bir tanım

Resmi istatistiksel terimlerle, bir rastgele değişken X’in , a ve b için hafızasız özelliğe sahip bir olasılık dağılımını takip ettiği söylenir.   {0, 1, 2, …}’da şu doğrudur:

Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )

Örneğin, hafızasız özelliğe sahip bir olasılık dağılımımız olduğunu ve X’in ilk başarıya kadar olan deneme sayısı olduğunu varsayalım. a = 30 ve b = 10 ise şunu söyleriz:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
• Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)

Başka bir deyişle, eğer 30 başarısız denememiz varsa, o zaman başarı elde etmek için 40. denemeye veya daha sonrasına kadar beklemek zorunda kalma olasılığımız, sıfırdan başlayıp 10. denemeye kadar bekleme olasılığıyla aynıdır. veya daha fazlası başarılı olmak için.

Bu olasılık dağılımı hafızasız bir özelliğe sahip olduğundan, bu, belirli bir noktaya kadar yaşadığımız başarısızlıkların sayısını bilmenin bize gelecekte başarısızlık olasılığı hakkında bilgi vermediği anlamına gelir.

Hafızasız özellik: bir örnek

Saatte ortalama 30 müşterinin bir mağazaya girdiğini ve varışlar arasındaki sürenin üstel olarak dağıldığını varsayalım. Ardışık ziyaretler arasında ortalama 2 dakika geçmektedir.

Son müşterinin gelmesinden bu yana 10 dakika geçtiğini varsayarız. Bunun alışılmadık derecede uzun bir süre olduğu göz önüne alındığında, bir müşterinin bir dakika içinde gelmesi daha muhtemel görünüyor.

Ancak üstel dağılım hafızasız bir özelliğe sahip olduğundan bu durum söz konusu değildir. Bir sonraki müşterinin gelmesini beklerken geçen süre, son müşterinin gelmesinden bu yana geçen süreye bağlı değildir.

Üstel dağılımın CDF’sini kullanarak bunu kanıtlayabiliriz:

CDF: 1 – e ^-λx

burada λ, 1/ortalama varışlar arası süre olarak hesaplanır. Örneğimizde λ = 1/2 = 0,5.

a = 10 ve b = 1 olarak ayarlarsak:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr( ^X > 10 + 1 |

Son müşterinin gelmesinden bu yana ne kadar zaman geçerse geçsin, bir sonraki müşterinin gelmesine bir dakikadan fazla süre kalmış olma olasılığı 0,6065’tir .