Ki-kare dağılımı

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 4, 2023 Olasılık 0 Yorum

Bu makalede ki-kare dağılımının ne olduğu ve ne için kullanıldığı açıklanmaktadır. Ayrıca ki-kare dağılım grafiğini ve özelliklerini bulacaksınız.

Ki-kare dağılımı nedir?

Ki-kare dağılımı sembolü χ² olan bir olasılık dağılımıdır. Daha kesin olarak Ki-kare dağılımı, normal dağılıma sahip k bağımsız rastgele değişkenin karelerinin toplamıdır.

Dolayısıyla Ki-kare dağılımı k serbestlik derecesine sahiptir. Bu nedenle, bir Ki-kare dağılımı, temsil ettiği normal dağılımlı değişkenlerin karelerinin toplamı kadar serbestlik derecesine sahiptir.

$\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}$

Ki-kare dağılımı Pearson dağılımı olarak da bilinir.

Ki-kare dağılımının gama dağılımının özel bir durumu olduğu unutulmamalıdır.

Ki-kare dağılımı istatistiksel çıkarımlarda, örneğin hipotez testlerinde ve güven aralıklarında yaygın olarak kullanılır. Aşağıda bu tür olasılık dağılımının uygulamalarının neler olduğunu göreceğiz.

Ki-kare dağılım grafiği

Ki-kare dağılımının tanımını gördükten sonra, bu tür dağılımın grafiksel olarak temsil edilen birkaç örneğini göreceğiz. Aşağıda ki-kare dağılımının olasılık grafiğinin serbestlik derecesine bağlı olarak nasıl değiştiğini görebilirsiniz.

Ki-kare dağılımının yoğunluk fonksiyonu yukarıdaki grafikte gösterilmiştir. Öte yandan ki-kare kümülatif olasılık dağılım fonksiyonunun grafiği şu şekildedir:

➤ Bakınız: Ki-kare dağılım tablosu

Ki-kare dağılımının özellikleri

Bu bölümde Ki-kare dağılımının olasılık teorisi ve istatistiğe ilişkin en önemli özelliklerini göreceğiz.

Ki-kare dağılımının ortalaması serbestlik derecesine eşittir.

$\begin{array}{c}X\sim\chi^2_k\\[2ex] E[X]=k\end{array}$

Ki-kare dağılımının varyansı, dağılımın serbestlik derecesinin iki katına eşittir.

$\begin{array}{c}X\sim\chi^2_k\\[2ex] Var(X)=2\cdot k\end{array}$

Dağıtım birden fazla serbestlik derecesine sahip olduğu sürece, ki-kare dağılımının modu, serbestlik derecesinden iki birim daha azdır.

$Mo=k-2 \qquad \text{si } k\geq 2$

X=0 ise Ki-kare dağılımının yoğunluk fonksiyonu sıfırdır. Bununla birlikte, x’in 0’dan büyük değerleri için Ki-kare dağılımının yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki formülle tanımlanır:

$\displaystyle P[X=x]= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}$

Ki-kare dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonu aşağıdaki formüle göre yönetilir:

$\displaystyle P[X\leq x]=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}$

Ki-kare dağılımının çarpıklık katsayısı, sekiz bölümünün karekökünün dağılımın serbestlik derecesi sayısına bölünmesiyle elde edilir.

$\displaystyle A=\sqrt{\frac{8}{k}}$

Ki-kare dağılımının basıklığı aşağıdaki ifade kullanılarak hesaplanır:

$C=3+\cfrac{12}{k}$

Merkezi limit teoremine bağlı olarak, eğer k yeterince büyükse, ki-kare dağılımına normal bir dağılımla yaklaşılabilir.

$\displaystyle\lim_{k \to \infty} \frac{\chi^2_k (x)}{ k } = N_{\left(1,\sqrt{2/k}\right)} (x)$

Ki-kare dağılımının uygulamaları

Ki-kare dağılımının istatistikte birçok farklı uygulaması vardır. Aslında değişkenler arasındaki bağımsızlığı ve teorik dağılıma uyumun iyiliğini kontrol etmek için kullanılan ki-kare testi bile vardır. Örneğin, bir numunenin verilerinin Poisson dağılımına uygun olup olmadığını belirlemek için Ki-kare testi kullanılabilir.

Doğrusal regresyon analizinde ki-kare dağılımı, normal dağılım gösteren bir popülasyonun ortalamasını tahmin etmek ve doğrusal regresyon çalışma çizgisinin eğimini tahmin etmek için de kullanılır.

Son olarak Ki kare dağılımı, Snedecor F dağılımı ile olan ilişkisi nedeniyle varyans analizine de katılmaktadır.

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil