Merkezi limit teoremi: yerine getirilmesi gereken dört koşul

Merkezi limit teoremi,popülasyon dağılımı normal olmasa bile, örneklem büyüklüğü yeterince büyükse, bir örneklem ortalamasının örnekleme dağılımının yaklaşık olarak normal olduğunu belirtir.

Merkezi limit teoremini uygulamak için dört koşulun karşılanması gerekir:

1. Rastgeleleştirme : Veriler rastgele örneklenmelidir, böylece popülasyonun her bir üyesinin örneğin bir parçası olmak üzere seçilme olasılığı eşit olmalıdır.

2. Bağımsızlık: Numunelerin değerleri birbirinden bağımsız olmalıdır.

3. %10 koşulu: Örnek değiştirilmeden alındığında örneklem büyüklüğü popülasyonun %10’unu geçmemelidir.

4. Büyük Örnek Durumu: Örnek boyutu yeterince büyük olmalıdır.

Bu eğitimde her bir durumun kısa bir açıklaması sağlanmaktadır.

Durum 1: rastgeleleştirme

Merkezi limit teoremini uygulayabilmek için, kullandığımız verilerin olasılık örnekleme yöntemi kullanılarak popülasyondan rastgele örneklenmesi gerekir.

İstatistikte iki tür örnekleme yöntemi vardır:

1. Olasılıklı Örnekleme Yöntemleri: Bir popülasyonun her üyesinin, örneğin bir parçası olmak üzere seçilme olasılığının eşit olduğu örnekleme yöntemleri. Örnekler şunları içerir:

• Basit rastgele örnek
• Tabakalı rastgele örnek
• Kümelenmiş rastgele örnek
• Sistematik rastgele örnekleme

2. Olasılıksız örnekleme yöntemleri: Bir popülasyonun her üyesinin, örneğin bir parçası olmak üzere seçilme olasılığının aynı olmadığı örnekleme yöntemleri. Örnekler şunları içerir:

• Kolaylık örneği
• Gönüllü yanıt örneği
• Kartopu Örneği
• Saf numune

Numuneyi elde etmek için olasılıklı örnekleme yönteminin kullanılması önemlidir, çünkü bu , popülasyonun temsili bir örneğini elde etme şansını en üst düzeye çıkarır.

Durum 2: Bağımsızlık

Merkezi limit teoremini uygulayabilmek için örnekteki değerlerin her birinin birbirinden bağımsız olduğunu da varsaymamız gerekir. Başka bir deyişle bir olayın meydana gelmesi diğer bir olayın meydana gelmesini etkilemez.

Olasılıklı örnekleme yöntemi kullandığımızda bu varsayım çoğunlukla karşılanır, çünkü bu tür örnekleme yöntemleri , hangi gözlemlerin örneğe dahil edileceğini birbirinden tamamen bağımsız olarak seçer.

Durum 3: %10 koşulu

Örnek değiştirilmeden alındığında (ki bu neredeyse her zaman böyledir), örneklem büyüklüğü toplam popülasyonun %10’unu geçmemelidir.

Örneğin:

• Popülasyon büyüklüğümüz 500 kişi ise örneklem büyüklüğümüzün 50 kişiyi geçmemesi gerekiyor.
• Popülasyon büyüklüğümüz 1.000 kişi ise örneklemimizin 100 kişiyi geçmemesi gerekiyor.
• Eğer popülasyon büyüklüğümüz 50.000 kişi ise örneklem büyüklüğümüzün 5.000 kişiyi geçmemesi gerekiyor.

Ve benzeri.

Durum 4: Büyük numune koşulu

Son olarak merkezi limit teoremini uygulayabilmek için örneklem büyüklüğümüzün yeterince büyük olması gerekir.

Genellikle “yeterince büyük” ifadesinin 30 veya daha fazla olduğunu düşünüyoruz. Ancak bu sayı, nüfus dağılımının temel şekline bağlı olarak biraz değişebilir.

Özellikle:

• Nüfus dağılımı simetrikse, 15 kadar küçük bir örneklem büyüklüğü bazen yeterli olabilir.
• Nüfus dağılımı çarpıksa genellikle en az 30 kişiden oluşan bir örneklem gereklidir.
• Nüfus dağılımı aşırı derecede çarpıksa 40 veya daha fazla kişiden oluşan bir örneklem gerekli olabilir.

Nüfus dağılımının şekline bağlı olarak, merkezi limit teoreminin uygulanması için 30’dan büyük veya küçük bir örneklem büyüklüğüne ihtiyacınız olabilir.