Matematiksel beklenti (veya beklenen değer)

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 5, 2023 Olasılık 0 Yorum

Bu makalede, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin (veya beklenen değerinin) ne olduğu ve bunun nasıl hesaplanacağı açıklanmaktadır. Matematiksel umudun çözülmüş bir alıştırmasını bulacaksınız. Ek olarak, herhangi bir veri kümesinin beklenen değerini çevrimiçi bir hesap makinesiyle bulabilirsiniz.

Matematiksel beklenti (veya beklenen değer) nedir?

İstatistikte beklenen değer olarak da adlandırılan beklenti , bir rastgele değişkenin ortalama değerini temsil eden bir sayıdır. Matematiksel beklenti, rastgele olayların değerlerinden ve bunların meydana gelme olasılıklarından oluşan tüm ürünlerin toplamına eşittir.

Beklenti sembolü büyük E’dir, örneğin X istatistiksel değişkeninin beklentisi E(X) ile temsil edilir.

Benzer şekilde bir veri setinin matematiksel beklenti değeri de onun ortalaması (nüfus ortalaması) ile örtüşmektedir.

Matematiksel beklenti nasıl hesaplanır?

Ayrık bir değişkenin matematiksel beklentisini hesaplamak için aşağıdaki adımlar izlenmelidir:

Her olası olayı, gerçekleşme olasılığıyla çarpın.
Önceki adımda elde edilen tüm sonuçları toplayın.
Elde edilen değer, değişkenin matematiksel beklentisidir (veya beklenen değeridir).

Dolayısıyla, ayrı bir değişkenin matematiksel beklentisini (veya beklenen değerini) hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

matematiksel beklenti veya beklenen değer

👉Herhangi bir veri setinin beklenen değerini hesaplamak için aşağıdaki hesaplayıcıyı kullanabilirsiniz.

Yukarıdaki formülün yalnızca rastgele değişkenin ayrık olması durumunda (çoğu durumda) kullanılabileceğini unutmayın. Ancak değişken sürekli ise matematiksel beklentiyi elde etmek için aşağıdaki formülü kullanmamız gerekir:

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

Altın

$f_x$

sürekli değişkenin yoğunluk fonksiyonudur

matematiksel beklenti örneği

Beklentinin (veya beklenen değerin) tanımı göz önüne alındığında, hesaplamanın nasıl yapıldığını görebilmeniz için aşağıda somut bir örnek verilmiştir.

Bir kişi, zar atıldığında ortaya çıkan sayıya göre para kazanabileceği veya kaybedebileceği bir oyuna katılır. 1 atışta 800 $ kazanırsınız, 2 veya 3 atışta 500 $ kaybedersiniz ve 4, 5 veya 6 atışta 100 $ kazanırsınız. Katılım ücreti 50$’dır. Bu olasılık oyununa katılmayı tavsiye eder misiniz?

Yapılacak ilk şey, her olayın olasılığını belirlemektir. Zarın altı yüzü olduğundan herhangi bir sayı gelme olasılığı:

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

Dolayısıyla her bir olayın gerçekleşme olasılığı:

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

Artık her olayın gerçekleşme olasılığını bildiğimize göre beklenti için matematiksel formülü uyguluyoruz:

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

Ve matematiksel beklentiyi (veya beklenen değeri) hesaplıyoruz:

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

Beklenen değer, bu oyuna katılmanın bedelinden daha düşüktür, bu nedenle oynamamak daha iyi olur çünkü uzun vadede para kaybedersiniz. Sadece 1’e ulaştığında katılırsanız büyük bir kâr elde edebilirsiniz, ancak uzun vadede zarar etme olasılığınız yüksektir.

Matematiksel beklenti sonucunun bazen imkansız bir değer olabileceğini, örneğin bu durumda 16,67$’ın elde edilemeyeceğini belirtmek gerekir.

Beklenti hesaplayıcı

Beklenen değeri hesaplamak için aşağıdaki hesap makinesine bir dizi istatistiksel veri girin. İlk kutuya her olayın değerini, ikinci kutuya ise gerçekleşme olasılığını aynı sırayla yazmalısınız.

Veriler bir boşlukla ayrılmalı ve ondalık ayırıcı olarak nokta kullanılarak girilmelidir.

Matematiksel beklentinin özellikleri

Matematiksel beklentinin özellikleri aşağıdaki gibidir:

Bir sabitin matematiksel beklentisi kendisidir.

$E(k)=k$

Bir rastgele değişkenin bir skalerle çarpımı beklentisi, bu değişkenin beklentisinin bu skalerle çarpımına eşittir.

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

İki değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, her bir değişkenin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

Genel olarak iki değişkenin çarpılması farklı bir matematiksel beklenti üretir. Sonuç yalnızca değişkenler bağımsızsa aynıdır.

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

Bir değişkenin tüm değerleri sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse o değişkenin matematiksel beklentisi de pozitif veya sıfıra eşittir.

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

Bir değişkenin tüm değerleri diğer değişkenin tüm değerlerinden küçükse iki değişkenin beklentileri de aynı ilişkiye sahiptir.

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

Bir değişkenin iki değerle sınırlı olduğunu biliyorsak, onun matematiksel beklentisi de mantıksal olarak sınırlıdır.

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”41″ width=”1116″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <h2 class=$ Matematiksel beklenti ne için kullanılır?

Bu son bölümde matematiksel umudun anlamını daha derinlemesine inceleyeceğiz. Somut olarak bu istatistiksel ölçünün ne için kullanıldığını göreceğiz ve böylece kavramı daha iyi anlayacağız.

Matematiksel beklenti (veya beklenen değer), olasılıksal bir uzayda uzun vadede kazanılması veya kaybedilmesi beklenen miktarın değerini elde etmek için kullanılır. Bir başka deyişle matematiksel beklenti uzun vadede elde edilecek getiriyi ifade etmektedir.

Bir kişi bir şirketin hisselerini satın almak gibi bir yatırım yapmayı düşündüğünde dikkate alınması gereken parametrelerden biri matematiksel beklentidir. Çünkü bu yatırımı birkaç kez yapsanız elde edeceğiniz ekonomik getiri matematiksel beklentinin değeri kadar olacaktır. Elde edilen faydaların ortalaması olarak kabul edilebilir.

Benzer şekilde, matematiksel beklenti ekonometri, kuantum fiziği, ticaret ve hatta biyoloji gibi diğer alanlarda da kullanılmaktadır.

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil