Merkezi limit teoremi: tanım + örnekler

Merkezi limit teoremi,popülasyon dağılımı normal olmasa bile, örneklem büyüklüğü yeterince büyükse, bir örneklem ortalamasının örnekleme dağılımının yaklaşık olarak normal olduğunu belirtir.

Merkezi limit teoremi ayrıca örnekleme dağılımının aşağıdaki özelliklere sahip olacağını belirtir:

1. Örnekleme dağılımının ortalaması nüfus dağılımının ortalamasına eşit olacaktır:

x = µ

2. Örneklem dağılımının varyansı, ana kütle dağılımının varyansının örneklem büyüklüğüne bölünmesine eşit olacaktır:

^s2 = ^σ2 /n

Merkezi Limit Teoremine Örnekler

Burada merkezi limit teoremini pratikte göstermek için bazı örnekler verilmiştir.

Üniforma dağıtımı

Bir kaplumbağanın kabuğunun genişliğinin minimum 2 inç ve maksimum 6 inç genişlikte düzgün bir dağılım izlediğini varsayalım. Yani rastgele bir kaplumbağa seçip kabuğunun genişliğini ölçersek, genişliğinin de muhtemelen 2 ile 6 inç arasında olması muhtemeldir.

Kaplumbağa kabuğu genişliklerinin dağılımını temsil edecek bir histogram yapsaydık şöyle görünürdü:

Düzgün bir dağılımın ortalaması μ = (b+a) / 2’dir; burada b mümkün olan en büyük değer ve a mümkün olan en küçük değerdir. Bu durumda (6+2) / 2 = 4 olur.

Düzgün bir dağılımın varyansı ^σ2 = (ba) ^2/12’dir . Bu durumda (6-2) ^2/12 = 1,33 olur

Düzgün dağılımdan rastgele 2 örnek alma

Şimdi bu popülasyondan rastgele 2 kaplumbağa örneği aldığımızı ve her bir kaplumbağanın kabuğunun genişliğini ölçtüğümüzü hayal edin. İlk kaplumbağanın kabuğunun 3 inç, ikincisinin ise 6 inç genişliğinde olduğunu varsayalım. 2 kaplumbağadan oluşan bu örneğin ortalama genişliği 4,5 inçtir.

Daha sonra, bu popülasyondan rastgele 2 kaplumbağadan oluşan başka bir örnek aldığımızı ve her bir kaplumbağanın kabuk genişliğini tekrar ölçtüğümüzü hayal edin. İlk kaplumbağanın kabuğunun 2,5 inç, ikincisinin de 2,5 inç genişliğinde olduğunu varsayalım. 2 kaplumbağadan oluşan bu örneğin ortalama genişliği 2,5 inçtir.

Tekrar tekrar 2 kaplumbağadan rastgele örnekler aldığımızı ve her seferinde ortalama kabuk genişliğini bulduğumuzu hayal edin.

2 kaplumbağadan alınan tüm bu örneklerin ortalama kabuk genişliğini temsil edecek bir histogram yapsaydık şöyle görünürdü:

Buna örnek ortalamaların örnekleme dağılımı denir çünkü örnek ortalamaların dağılımını gösterir.

Bu örnekleme dağılımının ortalaması x = μ = 4’tür

Bu örnekleme dağılımının varyansı: ^s2 = ^σ2 / n = 1,33 / 2 = 0,665

Düzgün dağılımdan rastgele 5 örnek alma

Şimdi aynı deneyi tekrarladığımızı hayal edin, ancak bu sefer 5 kaplumbağadan rastgele örnekler alıp her seferinde ortalama kabuk genişliğini buluyoruz.

5 kaplumbağanın tüm örneklerinin ortalama kabuk genişliğini temsil edecek bir histogram yapsaydık şöyle görünürdü:

Bu dağılımın daha çok normal dağılıma benzeyen bir “çan” şekline sahip olduğuna dikkat edin. Bunun nedeni, 5’lik numuneler aldığımızda, numune ortalamalarımız arasındaki farkın çok daha düşük olması, dolayısıyla ortalama 2 inç veya 6 inç’e yakın numuneler alma olasılığımızın daha düşük olması ve ortalama 2 inç veya 6 inç’e yakın numuneler elde etme olasılığımızın daha yüksek olmasıdır. 6 inç. ortalama, gerçek nüfus ortalamasına 4 inç daha yakındır.

Bu örnekleme dağılımının ortalaması x = μ = 4’tür

Bu örnekleme dağılımının varyansı: ^s2 = ^σ2 / n = 1,33 / 5 = 0,266

Düzgün dağılımdan rastgele 30 örnek alma

Şimdi aynı deneyi tekrarladığımızı hayal edin, ancak bu sefer 30 kaplumbağadan rastgele örnekler alıyoruz ve her seferinde ortalama kabuk genişliğini buluyoruz.

30 kaplumbağaya ait tüm örneklerin ortalama kabuk genişliğini temsil edecek bir histogram yapsaydık şöyle görünürdü:

Bu örnekleme dağılımının önceki iki dağılımdan daha da çan şeklinde ve çok daha dar olduğuna dikkat edin.

Bu örnekleme dağılımının ortalaması x = μ = 4’tür

Bu örnekleme dağılımının varyansı ^s2 = ^σ2 / n = 1,33 / 30 = 0,044’tür.

Ki-kare dağılımı

Belirli bir şehirdeki aile başına düşen evcil hayvan sayısının üç serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımını takip ettiğini varsayalım. Hayvanların familyalara göre dağılımını temsil eden bir histogram yapsaydık şöyle görünürdü:

Ki-kare dağılımının ortalaması basitçe serbestlik derecesinin (df) sayısıdır. Bu durumda μ = 3 .

Ki-kare dağılımının varyansı 2 * df’dir. Bu durumda ^σ2 = 2 * 3 = 6 olur.

Rastgele 2 örnek alma

Bu popülasyondan 2 aileden rastgele bir örnek aldığımızı ve her ailedeki evcil hayvan sayısını saydığımızı hayal edin. Birinci ailenin 4 evcil hayvanı, ikinci ailenin ise 1 evcil hayvanı olduğunu varsayalım. 2 aileden oluşan bu örneklem için ortalama evcil hayvan sayısı 2,5’tir.

Daha sonra bu popülasyondan 2 aileden oluşan başka bir rastgele örnek aldığımızı ve her ailedeki evcil hayvan sayısını tekrar saydığımızı hayal edin. Birinci ailenin 6 evcil hayvanı, ikinci ailenin ise 4 evcil hayvanı olduğunu varsayalım. Bu 2 aile örneğinin ortalama evcil hayvan sayısı 5’tir.

Tekrar tekrar 2 aileden rastgele örnekler aldığımızı ve her seferinde ortalama evcil hayvan sayısını bulmaya devam ettiğimizi hayal edin.

2 aileden alınan tüm bu örneklerin ortalama evcil hayvan sayısını temsil edecek bir histogram yapsaydık şöyle görünürdü:

Bu örnekleme dağılımının ortalaması x = μ = 3’tür

Bu örnekleme dağılımının varyansı: s ² = σ ² / n = 6 / 2 = 3

10’dan rastgele numune alma

Şimdi aynı deneyi tekrarladığımızı hayal edin, ancak bu sefer 10 aileden rastgele örnekler alıyoruz ve her seferinde aile başına ortalama hayvan sayısını buluyoruz.

10 aileye ait tüm bu örneklerde aile başına düşen ortalama hayvan sayısını temsil edecek bir histogram yapsaydık şöyle görünürdü:

Bu örnekleme dağılımının ortalaması x = μ = 3’tür

Bu örnekleme dağılımının varyansı: ^s2 = ^σ2 / n = 6/10 = 0,6

Rastgele 30 örnek alma

Şimdi aynı deneyi tekrarladığımızı hayal edin, ancak bu sefer 30 aileden rastgele örnekler alıyoruz ve her seferinde aile başına ortalama hayvan sayısını buluyoruz.

30 familyadan oluşan tüm bu örneklerde aile başına düşen ortalama hayvan sayısını temsil edecek bir histogram yapsaydık şöyle görünürdü:

Bu örnekleme dağılımının ortalaması x = μ = 3’tür

Bu örnekleme dağılımının varyansı ^s2 = ^σ2 / n = 6/30 = 0,2’dir.

Özet

Bu iki örnekten ana çıkarımlar şunlardır:

• Nüfus dağılımı normal olmasa bile, örneklem büyüklüğü yeterince büyükse, örneklem ortalamasının örnekleme dağılımı yaklaşık olarak normaldir . Yukarıdaki iki örnekte ne düzgün dağılım ne de ki-kare dağılımı normaldi (“çan” şeklinde değildiler), ancak yeterince büyük bir örnek aldığımızda örnek ortalamasının dağılımı şuna dönüştü: Normal olmak.
• Örnek boyutu ne kadar büyük olursa, örnek ortalamasının varyansı o kadar düşük olur.

“Yeterince büyük”ü tanımlayın

Merkezi limit teoreminin, popülasyon dağılımı normal olmasa bile, örneklem büyüklüğü “yeterince büyük” se, bir örneklem ortalamasının örnekleme dağılımının yaklaşık olarak normal olduğunu belirttiğini hatırlayın.

Merkezi limit teoreminin uygulanması için bir numunenin ne kadar büyük olması gerektiğine dair kesin bir tanım yoktur, ancak genel olarak bu, numunenin geldiği popülasyon dağılımının çarpıklığına bağlıdır:

• Nüfus dağılımı simetrikse, 15 kadar küçük bir örneklem büyüklüğü bazen yeterli olabilir.
• Nüfus dağılımı çarpıksa genellikle en az 30 kişiden oluşan bir örneklem gereklidir.
• Nüfus dağılımı aşırı derecede çarpıksa 40 veya daha fazla kişiden oluşan bir örneklem gerekli olabilir.

Bu konu hakkında daha fazla bilgi için Büyük Bir Numuneyi Koşullandırma hakkındaki bu eğitime göz atın.