Olasılık aksiyomları

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 1, 2023 Kategorize edilmemiş 0 Yorum

Bu makale olasılık aksiyomlarının ne olduğunu açıklamaktadır. Böylece olasılığın aksiyomatik tanımını, farklı olasılık aksiyomlarının neler olduğunu ve bunların uygulanmasına ilişkin bir örneği bulacaksınız.

Olasılığın 3 aksiyomu nedir?

Olasılık aksiyomları şunlardır:

Olasılık Aksiyomu 1 : Bir olayın olasılığı negatif olamaz.
Olasılık Aksiyomu 2 : Belirli bir olayın olasılığı 1’dir.
Olasılık Aksiyomu 3 : Bir dizi özel olayın olasılığı, tüm olasılıkların toplamına eşittir.

Olasılığın üç aksiyomu aynı zamanda Kolmogorov aksiyomları olarak da bilinir çünkü bunlar 1933’te bu Rus matematikçi tarafından formüle edilmiştir.

Her olasılık aksiyomu türü aşağıda daha ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Aksiyom 1

Olasılığın ilk aksiyomu, bir olayın meydana gelme olasılığının negatif olamayacağını ve bu nedenle değerinin 0 ile 1 arasında olduğunu söyler.

$0\leq P(A)\leq 1$

Bir olayın olasılığı sıfır ise bu, onun gerçekleşmesinin imkansız olduğu anlamına gelir. Öte yandan bir olayın gerçekleşme olasılığı 1 ise bu olayın mutlaka gerçekleşeceği anlamına gelir. Yani bir olayın olasılık değeri ne kadar yüksekse, gerçekleşme olasılığı da o kadar yüksektir.

aksiyom 2

İkinci olasılık aksiyomu, belirli bir olayın meydana gelme olasılığının 1’e eşit olduğunu belirtir.

$P(\Omega)=1$

Belirli bir olay, her zaman gerçekleşecek olan rastgele bir deneyimin sonucudur. Bu nedenle güvenli bir olay, rastgele bir deneyin örnek uzayı olarak da tanımlanabilir.

➤ Bakınız: Güvenli olay

Aksiyom 3

Üçüncü olasılık aksiyomu , bir dizi özel olay verildiğinde, tüm olayların ortak olasılığının, tüm gerçekleşme olasılıklarının toplamına eşdeğer olduğunu belirtir.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

İki veya daha fazla olay aynı anda gerçekleşemediğinde özeldir. Bu nedenle ortak olasılığı hesaplamak için bunların aynı anda meydana gelme olasılığını hesaba katmak gerekli değildir.

➤ Bakınız: Etkinliklerin hariç tutulması

Olasılık aksiyomlarına örnek

Örnek olarak aşağıda, olasılık aksiyomlarının yerine getirildiğini görebilmeniz için bir zarın atılması deneyinin birkaç sonucunu analiz edeceğiz.

Bir zarı attığınızda altı olası sonuç vardır; bunlar aşağıdaki gibidir:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

Bu durumda, tüm sonuçların olasılığı eşit olduğundan, her bir sonucun gerçekleşme olasılığını belirlemek için yalnızca bir sonucun olasılığını bulmamız gerekir. Bu nedenle, her olası sonucun olasılığını hesaplamak için Laplace kuralı formülünü uyguluyoruz:

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

Daha sonra her bir sonucun elde edilme olasılığı pozitif olduğundan, olasılığın ilk aksiyomu karşılanır.

Şimdi ikinci aksiyomu kontrol edelim. Bu durumda, belirli bir olay “1’den 6’ya kadar bir sayı alır”, dolayısıyla her sonucun elde edilme olasılığını ekliyoruz:

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

Böylece belirli bir olayın olasılığı 1’e eşit olduğundan ikinci olasılık aksiyomu da yerine getirilmiş olur.

Son olarak geriye kalan tek şey üçüncü olasılık aksiyomunu doğrulamaktır. Bir zarı atarak elde edebileceğimiz farklı sonuçlar birbirini dışlar, çünkü örneğin 2 atarsak artık 5 elde edemeyiz. Bu nedenle herhangi iki sayıyı elde etmek için yapılan hesaplama iki şekilde yapılabilir: Laplace kuralı veya her sonucun olasılığının eklenmesiyle.

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$P(2 \text{ o } 5)=P(2)+P(5)=0,167+0,167=0,33$

Her iki durumda da aynı olasılık değerini elde ederiz, dolayısıyla üçüncü olasılık aksiyomu da doğrudur.

Olasılık aksiyomlarından çıkarılan özellikler

Üç olasılık aksiyomundan aşağıdaki özellikleri çıkarabiliriz:

İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

$P(\varnothing)=0$

Herhangi bir olayın olasılığı 1’e eşit veya 1’den küçüktür.

$P(A)\leq 1$

$0\leq P(A)\leq 1$

Bir olayın olasılığı, bir eksi onu tamamlayan olayın olasılığına eşittir.

$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$

Bir olayın başka bir olaya dahil olması durumunda, ilk olayın olasılığının ikinci olayın olasılığından küçük veya ona eşit olması gerekir.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

İki olayın birleşme olasılığı, olasılıklarının toplamından kesişme olasılıklarının çıkarılmasıyla elde edilir.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

İkiye iki uyumsuz olaylar dizisi verildiğinde, bunların ortak olasılıkları, her bir olayın meydana gelme olasılığı eklenerek hesaplanır.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Örnek uzay sonluysa ve bir olay S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k } ise, söz konusu olayın meydana gelme olasılığı aşağıdaki ifadeye eşdeğerdir:

$P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_n)$

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil