Olasılık teorisi

Bu makalede olasılık teorisinin ne olduğu ve ne için kullanıldığı açıklanmaktadır. Böylece olasılık teorisinin temel kavramlarının yanı sıra olasılık teorisinin özelliklerini ve yasalarını da bulacaksınız.

Olasılık teorisi nedir?

Olasılık teorisi, rastgele bir olayın olasılığını hesaplamak için kullanılan bir dizi kural ve özelliktir. Böylece olasılık teorisi, rastgele bir deneyin hangi sonucunun ortaya çıkma olasılığının en yüksek olduğunu bilmemize olanak tanır.

Rastgele bir olayın, sonucu tahmin edilemeyen ancak şansa bağlı olan bir deneyden elde edilebilecek bir sonuç olduğunu unutmayın. Dolayısıyla olasılık teorisi, rastgele bir olayın meydana gelme olasılığını belirlememize olanak tanıyan bir dizi yasadır.

Örneğin, bir parayı attığımızda iki olası sonuç elde edebiliriz: yazı veya tura. Bu durumda %50 olan tura gelme olasılığını hesaplamak için olasılık teorisini kullanabiliriz.

Tarih boyunca olasılık teorisinin gelişimine birçok kişi katkıda bulunmuştur; bunların arasında Cardano, Laplace, Gauss ve Kolmogorov öne çıkmaktadır.

Olasılık teorisinin temelleri

Örnek uzay

Olasılık teorisinde örnek uzay , rastgele bir deneyin tüm olası sonuçlarının kümesidir.

Örnek uzayın sembolü büyük Yunan harfi Omega’dır (Ω), ancak büyük E harfiyle de temsil edilebilir.

Örneğin, bir zarın atılması için örnek uzay:

Etkinlik

Olasılık teorisinde, bir olay (veya oluşum), rastgele bir deneyin her olası sonucudur. Dolayısıyla bir olayın olasılığı, bir sonucun gerçekleşme olasılığını gösteren bir değerdir.

Örneğin, yazı-tura atışında iki olay vardır: “tura” ve “yazı”.

Farklı türde olaylar vardır:

• Temel olay (veya basit olay): deneyin olası sonuçlarının her biri.
• Bileşik olay: Bu, örnek uzayın bir alt kümesidir.
• Kesin Olay: Bu her zaman meydana gelecek rastgele bir deneyimin sonucudur.
• İmkansız Olay: Bu hiçbir zaman gerçekleşmeyecek rastgele bir deneyin sonucudur.
• Uyumlu olaylar: Ortak bir temel olaya sahip olan iki olay uyumludur.
• Uyumsuz olaylar: Herhangi bir temel olayı paylaşmayan iki olay uyumsuzdur.
• Bağımsız Olaylar: Birinin gerçekleşme olasılığı diğerinin olasılığını etkilemiyorsa iki olay bağımsızdır.
• Bağımlı olaylar: İki olaydan birinin gerçekleşme olasılığı diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştiriyorsa bu olaylar bağımlıdır.
• Birbirine aykırı olay: Diğer olay meydana gelmediğinde meydana gelen olay.

Olasılık aksiyomları

Olasılık aksiyomları şunlardır:

1. Olasılık Aksiyomu 1 : Bir olayın olasılığı negatif olamaz.



2. Olasılık Aksiyomu 2 : Belirli bir olayın olasılığı 1’dir.



3. Olasılık Aksiyomu 3 : Bir dizi uyumsuz olayın olasılığı, tüm olasılıkların toplamına eşittir.

Olasılık Özellikleri

Olasılık özellikleri şunlardır:

1. Bir olayın olasılığı, bir eksi karşıt olayın olasılığına eşittir.



2. İmkansız bir olayın olasılığı her zaman sıfırdır.



3. Bir olayın başka bir olaya dahil olması durumunda, ilk olayın olasılığının ikinci olayın olasılığından küçük veya ona eşit olması gerekir.



4. İki olayın birleşme olasılığı, her bir olayın ayrı ayrı meydana gelme olasılığı ile bunların kesişme olasılığının toplamına eşittir.



5. İkiye iki uyumsuz olaylar dizisi verildiğinde, bunların ortak olasılıkları, her bir olayın meydana gelme olasılığı eklenerek hesaplanır.



6. Bir örnek uzaydaki tüm temel olayların olasılıklarının toplamı 1’e eşittir.

Olasılık kuralları

Laplace kuralı

Laplace kuralı, bir örnek uzayda meydana gelen bir olayın olasılığını hesaplamak için kullanılan olasılıksal bir kuraldır.

Daha spesifik olarak Laplace kuralı, bir olayın meydana gelme olasılığının, olumlu durumların sayısının toplam olası durum sayısına bölünmesine eşit olduğunu söylüyor. Laplace kuralının formülü bu nedenle aşağıdaki gibidir:

Örneğin bir torbaya 5 yeşil top, 4 mavi top ve 2 sarı top koyarsak Laplace kuralını kullanarak rastgele bir yeşil top çekme olasılığını bulabiliriz:

toplam kuralı

Olasılık teorisinde toplam kuralı (veya toplama kuralı), iki olayın olasılıklarının toplamının, her bir olayın ayrı ayrı meydana gelme olasılığı eksi her iki olayın aynı anda meydana gelme olasılığı toplamına eşit olduğunu söyler. zaman. .

Yani toplama kuralının formülü aşağıdaki gibidir:

Toplama kuralının uygulanmasına ilişkin çözülmüş adım adım alıştırmaları aşağıdaki bağlantıda görebilirsiniz:

çarpma kuralı

Çarpma kuralı (veya çarpım kuralı), iki bağımsız olayın meydana gelme olasılığının, her bir olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşit olduğunu söyler.

Çarpma kuralının formülü bu nedenle aşağıdaki gibidir:

Ancak çarpma kuralının formülü olayların bağımsız veya bağımlı olmasına göre değişir. Bağımlı olaylar için çarpma kuralı formülünün ne olduğunu ve bu kuralın uygulama örneklerini buraya tıklayarak görebilirsiniz: