Olayların birleşme olasılığı

Bu yazımızda olayların birleşim olasılığının nasıl hesaplanacağını açıklıyoruz. Böylece olayların birleşme olasılığı formülünün ne olduğunu ve ayrıca adım adım çözülen alıştırmaları öğreneceksiniz.

Olayların birliği nedir?

Olasılık teorisinde olayların birleşimi , sonucu işlem kümesindeki tüm temel olaylardan oluşan bir olay işlemidir. Başka bir deyişle, A ve B gibi iki olayın birleşimi, A’da, B’de veya her ikisinde de bulunan olaylar kümesidir.

İki olayın birleşimi ⋃ sembolü ile ifade edilir. Böylece A ve B olaylarının birleşimi A⋃B olarak yazılır.

Örneğin, rastgele bir zar atma deneyinde, eğer bir olay A={1, 3, 5} tek sayı atarsa ve başka bir olay üçten küçük bir sayı atarsa B={1, 2}, ikisinin birleşimi olaylar A⋃B={1, 2, 3, 5}’tir.

Olayların birleşme olasılığı formülü

İki olayın birleşme olasılığı, ilk olayın olasılığı artı ikinci olayın olasılığı eksi iki olayın kesişme olasılığına eşittir.

Yani iki olayın birleşme olasılığı formülü P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B) şeklindedir.

Altın:

• 

  A olayı ile B olayının birleşme olasılığıdır.

• 

  A olayının gerçekleşme olasılığıdır.

• 

  B olayının gerçekleşme olasılığıdır.

• 

  A olayı ile B olayının kesişme olasılığıdır.

Ancak iki olay uyumsuzsa iki olayın kesişimi sıfırdır. Bu nedenle birbiriyle bağdaşmayan iki olayın birleşme olasılığı, her bir olayın gerçekleşme olasılığının eklenmesiyle hesaplanır.

Olayların birleşme olasılığına ilişkin çözülmüş örnekler

İki olayın birleşme olasılığının nasıl hesaplandığını görebilmeniz için aşağıda adım adım çözülmüş iki örnek bırakıyoruz. Hesaplama biraz farklı olduğundan, önce iki uyumsuz olayın birleşme olasılığını, ardından iki uyumlu olayın olasılığını bulacağız.

Birbiriyle bağdaşmayan iki olayın birleşme olasılığı

• Bir kutuya 10 mavi top, 6 turuncu top ve 4 yeşil top koyuyoruz. Mavi veya turuncu bir top çekme olasılığı nedir?

Alıştırma bizden şu veya bu olayın meydana gelme olasılığını belirlememizi ister. Bu nedenle sorunu çözmek için iki olayın birleşimi formülünü kullanmalıyız:

Bu nedenle, öncelikle Laplace kural formülünü kullanarak her bir olayın ayrı ayrı meydana gelme olasılığını hesaplıyoruz:

Ancak bu durumda olayların her ikisi de birbiriyle bağdaşmayan iki olay olduğundan aynı anda gerçekleşemez. Yani eğer mavi bir top çekersek artık turuncu bir top çekemeyiz ve bunun tersi de geçerlidir.

Bu nedenle, her iki olayın ortak olasılığı sıfırdır ve dolayısıyla formül basitleştirilmiştir:

Yani mavi bir top veya turuncu bir top yakalama olasılığının hesaplanması şu şekildedir:

Kısacası mavi veya turuncu bir topun kutudan çıkma olasılığı %80’dir.

İki uyumlu olayın birleşme olasılığı

• Bir parayı iki kez atarsak en az bir atışta tura gelme olasılığı nedir?

Bu durumda, ilk atışta “tura” ve ikinci atışta “yazı” alabileceğimiz için olaylar uyumludur. Bu nedenle olayların birleşme olasılığını hesaplama formülü basitleştirilmemiştir ve aşağıdaki gibidir:

Bu nedenle, öncelikle Laplace kuralını uygulayarak yazı tura atıldığında “tura” gelme olasılığını hesaplamamız gerekir:

Şimdi çarpım kuralı formülünü kullanarak iki olayın kesişme olasılığını hesaplayalım:

Son olarak, iki atıştan en az birinde tura gelme olasılığını bulmak için değerleri formülde yerine koyup hesaplamayı yapmanız yeterlidir:

Sonuç olarak, bir parayı iki kez attığınızda en az bir kez tura gelme olasılığı %75’tir.

Olay birleşimlerinin özellikleri

Olasılık teorisinde olayların birliğinin işleyişi aşağıdaki özellikleri karşılar:

• Değişme özelliği: Birleşimdeki olayların sırası, işlemin sonucunu değiştirmez.

• İlişkisel özellik: Sonuç aynı olduğundan üç olayın birleşimi herhangi bir sırayla hesaplanabilir.

• Dağıtıcı özellik: Olayların birleşimi, olayların kesişmesiyle dağıtıcı özelliği gerçekleştirir.