Bir ortalama için güven aralığı

Bir ortalama için güven aralığı, belirli bir güven düzeyine sahip bir popülasyon ortalamasını içermesi muhtemel bir değer aralığıdır.

Bu eğitimde aşağıdakiler açıklanmaktadır:

• Ortalama için bir güven aralığı oluşturma motivasyonu.
• Bir ortalama için güven aralığı oluşturma formülü.
• Bir ortalama için güven aralığının nasıl hesaplanacağına dair bir örnek.
• Bir ortalama için güven aralığı nasıl yorumlanır?

Ortalama için güven aralığı: motivasyon

Bir ortalama için bir güven aralığı bile oluşturmak istememizin nedeni, bir nüfus ortalamasını tahmin ederken belirsizliğimizi yakalamak istememizdir.

Örneğin Florida’daki belirli bir kaplumbağa türünün ortalama ağırlığını tahmin etmek istediğimizi varsayalım. Florida’da binlerce kaplumbağa olduğundan, etrafta dolaşıp her kaplumbağayı ayrı ayrı tartmak son derece zaman alıcı ve pahalı olacaktır.

Bunun yerine, 50 kaplumbağadan oluşan basit bir rastgele örnek alabilir ve gerçek popülasyon ortalamasını tahmin etmek için bu örnekteki kaplumbağaların ortalama ağırlığını kullanabiliriz:

Sorun, numunenin ortalama ağırlığının tüm popülasyonun ortalama ağırlığıyla tam olarak eşleşeceğinin garanti edilememesidir. Dolayısıyla, bu belirsizliği yakalamak için popülasyondaki kaplumbağaların gerçek ortalama ağırlığını içermesi muhtemel bir dizi değer içeren bir güven aralığı oluşturabiliriz.

Ortalama için güven aralığı: formül

Bir ortalamanın güven aralığını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Güven aralığı = x +/- z*(s/√ n )

Altın:

• x : örnek ortalama
• z: seçilen z değeri
• s: numune standart sapması
• n: örneklem büyüklüğü

Kullandığınız z değeri seçtiğiniz güven düzeyine bağlıdır. Aşağıdaki tabloda en yaygın güven düzeyi seçeneklerine karşılık gelen z değeri gösterilmektedir:

Daha yüksek güven düzeylerinin daha büyük z değerlerine karşılık geldiğini ve bunun da daha geniş güven aralıklarına yol açtığını unutmayın. Bu, örneğin aynı veri seti için %99 güven aralığının %95 güven aralığından daha geniş olacağı anlamına gelir.

Ortalama için güven aralığı: örnek

Aşağıdaki bilgileri içeren rastgele bir kaplumbağa örneği topladığımızı varsayalım:

• Örneklem büyüklüğü n = 25
• Ortalama numune ağırlığı x = 300
• Örneklem standart sapması s = 18,5

Nüfusun gerçek ortalama ağırlığı için farklı güven aralıklarını nasıl bulacağınız aşağıda açıklanmıştır:

%90 güven aralığı: 300 +/- 1,645*(18,5/√ 25 ) = [293,91, 306,09]

%95 güven aralığı: 300 +/- 1,96*(18,5/√ 25 ) = [292,75, 307,25]

%99 güven aralığı: 300 +/- 2,58*(18,5/√ 25 ) = [ 290,47 , 309,53]

Not: Bu güven aralıklarını İstatistiksel Güven Aralığı Hesaplayıcısını kullanarak da bulabilirsiniz.

Bir ortalama için güven aralığı: yorumlama

Bir güven aralığını yorumlama şeklimiz şu şekildedir:

[292,75, 307,25] güven aralığının kaplumbağa popülasyonunun gerçek ortalama ağırlığını içerme olasılığı %95’tir.

Aynı şeyi söylemenin başka bir yolu da, gerçek nüfus ortalamasının %95 güven aralığının dışında olma ihtimalinin yalnızca %5 olduğudur. Yani, kaplumbağa popülasyonunun gerçek ortalama ağırlığının 307,25 pounddan fazla veya 292,75 pounddan az olma ihtimali yalnızca %5’tir.