Ortalama için güven aralığı

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 3, 2023 İstatistik 0 Yorum

Bu makalede istatistikte ortalamanın güven aralığının ne olduğu ve ne için kullanıldığı açıklanmaktadır. Benzer şekilde, ortalamanın güven aralığını nasıl hesaplayacağınızı ve adım adım bir alıştırmayı keşfedeceksiniz.

Ortalamanın güven aralığı nedir?

Ortalamanın güven aralığı, bir popülasyonun ortalaması için izin verilen değerlerin aralığını sağlayan bir aralıktır. Başka bir deyişle, ortalamanın güven aralığı bize popülasyon ortalamasının değerini bir hata payı ile bağlayan bir maksimum değer ve bir minimum değer verir.

Örneğin, bir popülasyon ortalaması için %95 güven aralığı (6,10) ise bu, popülasyon ortalamasının %95’inin 6 ile 10 arasında olacağı anlamına gelir.

Bu nedenle ortalamanın güven aralığı, bir popülasyon ortalamasının arasında yer aldığı iki değeri tahmin etmek için kullanılır. Bu nedenle ortalamanın güven aralığı, tüm değerleri bilinmediğinde bir popülasyonun ortalamasına yaklaşmak için çok kullanışlıdır.

Ortalama için güven aralığı formülü

Bir değişken girme sürecinin şu şekilde gerçekleştiğini varsayarsak:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

Ortalama için güven aralığı, Z _α/2 değerinin standart sapma (σ) ile çarpılması ve numune boyutunun (n) kareköküne bölünmesiyle numune ortalamasından toplanıp çıkarılarak hesaplanır. Bu nedenle ortalamanın güven aralığını hesaplama formülü şöyledir:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Büyük örneklem boyutları ve %95 güven düzeyi için kritik değer Z _α/2 = 1,96 ve %99 güven düzeyi için kritik değer Z _α/2 = 2,576’dır.

Popülasyon varyansı bilindiğinde yukarıdaki formül kullanılır. Bununla birlikte, eğer popülasyon varyansı bilinmiyorsa (ki çoğu zaman böyledir), ortalamanın güven aralığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Altın:

$\overline{x}$

örnek anlamına gelir.
$t_{\alpha/2}$

α/2 olasılığı ile n-1 serbestlik derecesinin Öğrenci t dağılımının değeridir.
$s$

örnek standart sapmasıdır.
$n$

örneklem büyüklüğüdür.

Ortalama için güven aralığı hesaplama örneği

Bir popülasyon ortalamasının güven aralığının nasıl hesaplandığını görebilmeniz için, aşağıda adım adım çözülmüş bir örnek bırakıyoruz.

Aşağıda gösterilen değerlere sahip 8 gözlemlik bir örneğimiz var. %95 güven seviyesinde popülasyonun güven aralığı ne anlama gelir?

206 203 201 212
194 176 208 201

Önceki bölümde gördüğümüz gibi, popülasyon standart sapmasını bilmediğimizde popülasyon ortalamasının güven aralığını elde etmenin formülü aşağıdaki gibidir:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Bu nedenle ortalamanın güven aralığını belirlemek için öncelikle örneklem ortalamasını ve standart sapmayı hesaplamamız gerekir.

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

➤ Bakınız: Aritmetik Ortalama Hesaplayıcı
➤ Bakınız: Standart sapma hesaplayıcısı

Güven aralığını 1-α=%95 güven düzeyiyle ve örneklem büyüklüğü 8 ile bulmak istediğimiz için, Öğrenci t dağılım tablosuna erişmemiz ve hangi değerin t _0.025|7’ye karşılık geldiğini görmemiz gerekiyor.

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

➤ Bakınız: Öğrenci t dağılım tablosunun değerleri

Bu nedenle ortalamaya güven aralığı formülünü uyguluyoruz ve aralığın sınırlarını bulmak için hesaplamalar yapıyoruz:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

Sonuç olarak hesaplanan güven aralığı bize %95 güven düzeyi ile nüfus ortalamasının 190,82 ile 209,43 arasında olacağını söylüyor.

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil

Ortalamanın güven aralığı nedir?

Ortalama için güven aralığı formülü

Ortalama için güven aralığı hesaplama örneği

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Yorum ekle