Rayleigh dağılımına giriş

Rayleigh dağılımı, yalnızca sıfıra eşit veya sıfırdan büyük değerler alabilen rastgele değişkenleri modellemek için kullanılan sürekli bir olasılık dağılımıdır.

Aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir:

f(x; σ) = (x/σ ² )e ^{-x 2 /(2σ 2 )}

burada σ dağılımın ölçek parametresidir.

Rayleigh dağılımının özellikleri

Rayleigh dağılımı aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• Ortalama: σ√ π/2
• Sapma: ((4-π)/2)σ ²
• Mod: σ

π’nin bilinen bir sayısal değeri olduğundan, özellikleri aşağıdaki gibi basitleştirebiliriz:

• Ortalama: 1.253σ
• Sapma: 0,429σ ²
• Mod: σ

Rayleigh dağılımının görselleştirilmesi

Aşağıdaki grafik, ölçek parametresi için farklı değerler aldığından Rayleigh dağılımının şeklini göstermektedir:

Ölçek parametresi σ’nun değeri ne kadar büyük olursa, dağılımın da o kadar geniş olacağına dikkat edin.

Bonus: Merak edenler için yukarıdaki grafiği oluşturmak için aşağıdaki R kodunu kullandık:

 #load VGAM package
library (VGAM)

#create density plots
curve(drayleigh(x, scale = 0.5), from=0, to=10, col='green')
curve(drayleigh(x, scale = 1), from=0, to=10, col='red', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 2), from=0, to=10, col='blue', add=TRUE)
curve(drayleigh(x, scale = 4), from=0, to=10, col='purple', add=TRUE)

#add legend
legend(6, 1, legend=c("σ=0.5", "σ=1", "σ=2", "σ=4"),
       col=c("green", "red", "blue", "purple"), lty=1, cex=1.2)

Diğer dağıtımlarla ilişki

Rayleigh dağılımının diğer olasılık dağılımlarıyla aşağıdaki ilişkisi vardır:

1. Ölçek parametresi (σ) 1’e eşit olduğunda Rayleigh dağılımı 2 serbestlik derecesine sahip Ki-kare dağılımına eşittir.

2. Rayleigh dağılımı, şekil parametresi k = 2 olan Weibull dağılımının özel bir durumudur.

3. Ölçek parametresi σ olan Rayleigh dağılımı, Rice(0, σ) olan Rice dağılımına eşittir.

Uygulamalar

Uygulamada Rayleigh dağılımı aşağıdakiler dahil çeşitli uygulamalarda kullanılır:

1. Rayleigh dağılımı, dalgaların tepe noktasına ulaşması için geçen süre ve dalgaların ulaştığı maksimum yükseklik dahil olmak üzere, okyanustaki dalgaların davranışını modellemek için kullanılır.

2. Rayleigh dağılımı, daha yaygın olarak MRI olarak bilinen manyetik rezonans görüntülemede arka plan verilerinin davranışını modellemek için kullanılır.

3. Rayleigh dağılımı beslenme alanında, insanlarda ve hayvanlarda besin düzeyleri ile beslenme tepkisi arasındaki ilişkiyi modellemek için kullanılır.

Ek kaynaklar

Aşağıdaki eğitimler istatistiklerdeki diğer dağılımlar hakkında ek bilgi sağlar:

Normal dağılıma giriş
Binom dağılımına giriş
Poisson dağılımına giriş