Satterthwaite yaklaşımı: tanım ve örnek

Satterthwaite yaklaşımı, iki örnekli bir t testinde “etkili serbestlik derecelerini” bulmak için kullanılan bir formüldür.

En sık, örneklerin alındığı popülasyonların eşit varyanslara sahip olduğunu varsaymadan, iki bağımsız örneğin ortalamalarını karşılaştıran Welch t-testinde kullanılır.

Satterthwaite yaklaşımının formülü aşağıdaki gibidir:

 Degrees of freedom: (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 /(n 2 – 1)]}

Altın:

• s ₁ ² , s ₂ ² : Sırasıyla birinci ve ikinci örneklerin örnek varyansı.
• _n1 , _n2 : Sırasıyla birinci ve ikinci örneklerin örneklem büyüklüğü.

Aşağıdaki örnek, etkin serbestlik derecesini hesaplamak için Satterthwaite yaklaşımının nasıl kullanılacağını gösterir.

Örnek: Satterthwaite yaklaşımının hesaplanması

İki farklı bitki türünün ortalama boyunun eşit olup olmadığını bilmek istediğimizi varsayalım. Böylece her türden iki basit rastgele örnek toplayacağız ve her örnekteki bitkilerin yüksekliğini ölçeceğiz.

Aşağıdaki değerler her numunenin yüksekliğini (inç cinsinden) gösterir:

Örnek 1: 14, 15, 15, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 25, 25

Örnek 2: 10, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 27, 31, 33, 34, 34, 34

Ortalamalar, varyanslar ve örneklem büyüklükleri şu şekilde ortaya çıkıyor:

• x1 ₌ 19,27
• x2 ₌ 23,69
• s ₁ ² = 20,42
• s ₂ ² = 83,23
• n1 ₌ 11
• n2 = ₁₃

Daha sonra, etkin serbestlik derecelerini bulmak için varyansların ve örnek boyutlarının değerlerini Satterthwaite yaklaşım formülüne ekleyebiliriz:

 df = (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 / (n 2 – 1)]} 

df = (20.42/11 + 83.23/13) 2 /{[(20.42/11) 2 /(11 – 1)] + [(83.23/13) 2 /(13 – 1)]} = 18.137

Etkin serbestlik derecesi 18.137 olarak ortaya çıkıyor.

Genellikle bu değeri en yakın tam sayıya yuvarlarız, dolayısıyla Welch t testimizde kullanacağımız serbestlik derecesi 18 olur.

Son olarak, 18 serbestlik derecesi için alfa = 0,05 olan iki kuyruklu bir teste karşılık gelen t dağılım tablosunda kritik t değerini bulacağız:

Kritik değer t 2,101’dir .

Daha sonra test istatistiğimizi şu şekilde hesaplarız:

Test istatistiği: ( x ₁ – x ₂ ) / (√ s ₁ ² /n ₁ + s ₂ ² /n ₂ )

Test istatistiği: (19,27 – 23,69) / (√ 20,42/11 + 83,23/13 ) = -4,42 / 2,873 = -1,538

Test istatistiğimizin mutlak değeri (1,538) kritik t değerinden büyük olmadığından testin sıfır hipotezini reddedemiyoruz.

İki popülasyonun ortalamalarının önemli ölçüde farklı olduğunu söylemek için yeterli kanıt yok.

Uygulamada Satterthwaite yaklaşımı

Uygulamada, Satterthwaite yaklaşımını manuel olarak hesaplamanız nadiren gerekecektir.

Bunun yerine R, Python, Excel, SAS ve Stata gibi yaygın istatistiksel yazılımlar, sizin için etkin serbestlik derecelerini otomatik olarak hesaplamak üzere Satterthwaite yaklaşımını kullanabilir.

Ek kaynaklar

Hipotez Testine Giriş
İki örnekli t testine giriş
Welch t-testine giriş