Sonlu popülasyon düzeltme faktörü nedir?

Standart hataları hesaplamak için kullanılan formüllerin çoğu, (1) numunelerin değiştirilerek seçilmesi veya (2) numunelerin sonsuz bir popülasyondan seçilmesi fikrine dayanmaktadır.

Gerçek araştırmalarda bu fikirlerin hiçbiri doğru değildir. Neyse ki, örneklem büyüklüğü toplam popülasyon büyüklüğünün %5’inden azsa bu genellikle bir sorun değildir.

Bununla birlikte, örneklem büyüklüğü toplam popülasyonun %5’inden büyük olduğunda, aşağıdaki şekilde hesaplanan sonlu bir popülasyon düzeltmesinin (genellikle FPC olarak kısaltılır) uygulanması tercih edilir:

FPC = √ (Nn) / (N-1)

Altın:

• N: Nüfus büyüklüğü
• n: örneklem büyüklüğü

Sonlu popülasyon düzeltme faktörü nasıl kullanılır?

Sonlu bir popülasyon düzeltmesi uygulamak için bunu başlangıçta kullanacağınız standart hatayla çarpmanız yeterlidir.

Örneğin bir ortalamanın standart hatası şu şekilde hesaplanır:

Ortalamanın standart hatası: s / √ n

Sonlu popülasyon düzeltmesi uygulandığında formül şu şekilde olur:

Ortalamanın standart hatası: s / √ n * √ (Nn) / (N-1)

Aşağıdaki örnekler, sonlu popülasyon düzeltmesinin farklı senaryolarda nasıl kullanılacağını göstermektedir.

Örnek 1: Bir orantı için güven aralığı

Araştırmacılar, 1.300 nüfuslu bir ilçede belirli bir yasayı destekleyen sakinlerin oranını tahmin etmek istiyor. 100 sakinden oluşanrastgele bir örneklem seçiyorlar ve onlara yasadaki konumlarını soruyorlar. Sonuçlar burada:

• Örneklem büyüklüğü n = 100
• Kanun lehine oran p = 0,56

Genel olarak nüfus oranı için %95 güven aralığını hesaplama formülü aşağıdaki gibidir:

%95 GA = p +/- z*(√ p(1-p) / n )

Ancak bu örnekteki örneklem büyüklüğümüz 100/1300 = popülasyonun %7,7’sidir, bu da %5’i aşmaktadır. Bu nedenle güven aralığı formülümüze sonlu bir popülasyon düzeltmesi uygulamamız gerekir:

%95 GA = p +/- z*(√ p(1-p)/n ) * √ (Nn) / (N-1)

Böylece %95 güven aralığımız şu şekilde hesaplanabilir:

%95 GA = 0,56 +/- 1,96*(√ 0,56(1-0,56) / 100 ) * √ (1300-100) / (1300-1) = [0,4665, 0,6535]

Örnek 2: Bir ortalama için güven aralığı

Araştırmacılar, 500 kaplumbağa arasından belirli bir türün ortalama ağırlığını tahmin etmek istiyor. Böylece 40 kaplumbağadan rastgele bir örnek seçiyorlar ve her birini tartıyorlar. Sonuçlar burada:

• Örneklem büyüklüğü n = 40
• Ortalama numune ağırlığı x = 300
• Örneklem standart sapması s = 18,5

Genel olarak popülasyon ortalaması için %95 güven aralığını hesaplama formülü şöyledir:

%95 GA = x +/- t _α/2 *(s/√n)

Ancak bu örnekte örneklem büyüklüğümüz 40/500 = popülasyonun %8’idir, bu da %5’i aşmaktadır. Bu nedenle güven aralığı formülümüze sonlu bir popülasyon düzeltmesi uygulamamız gerekir:

%95 GA = x +/- t _α/2 *(s/√n) * √ (Nn) / (N-1)

Böylece %95 güven aralığımız şu şekilde hesaplanabilir:

%95 GA = 300 +/- 2,0227*(18,5/√ 40 ) * √ (500-40) / (500-1) = [294,32, 305,69]

Ek kaynaklar

Güven aralıkları nedir?
Hata payı ve standart hata: fark nedir?
Standart sapma ve standart hata: fark nedir?