Toplam olasılık teoremi

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 1, 2023 Olasılık 0 Yorum

Bu makale toplam olasılık teoreminin ne olduğunu ve olasılık ve istatistikte ne için kullanıldığını açıklamaktadır. Böylece toplam olasılık teoreminin formülünü, çözülmüş alıştırmaları ve toplam olasılık teoreminin ne zaman kullanıldığını bulacaksınız.

Toplam olasılık teoremi nedir?

Olasılık teorisinde toplam olasılık teoremi , bir örnek uzayın parçası olmayan bir olayın olasılığının, söz konusu örnek uzaydaki tüm olayların koşullu olasılıklarından hesaplanmasını mümkün kılan bir yasadır.

Dolayısıyla toplam olasılık teoremi, belirli bir olayın olasılığını, o olayla ilgili kısmi bilgilere dayanarak hesaplamak için kullanılır. Bazen gerekli tüm bilgilere sahip olmadığımız için Laplace kuralını doğrudan uygulayarak bir olayın olasılığını belirleyemeyiz. Ancak bu olay hakkındaki verileri diğer olaylara göre biliyorsak, toplam olasılık teoremi genellikle faydalıdır.

Kısaca toplam olasılık teoremi, bir olayın olasılığını hesaplamak istediğimizde ancak yalnızca belirli koşullar altında o olay hakkında bilgi sahibi olduğumuzda kullanılır. Örneğin, bu teoremin bazı uygulamaları çoklu durum deneylerini, kuyruk teorisini ve hayatta kalma analizini içerir.

➤ Bakınız: Laplace kuralı

Toplam olasılık teoremi formülü

Toplam olasılık teoremi, örnek uzayda bir bölüm oluşturan bir dizi olay (A ₁ , A ₂ ,…, A _n ) verildiğinde, B olayının olasılığının, her birinin olasılığının çarpımlarının toplamına eşit olduğunu söyler. P(A _i ) olayı P(B|A _i ) koşullu olasılığına göre hesaplanır.

Bu nedenle toplam olasılık teoreminin formülü şöyledir:

Altın:

$P(B)$

B olayının gerçekleşme olasılığıdır.
$P(B|A_i)$

A _i olayı göz önüne alındığında B olayının koşullu olasılığıdır.
$P(A_i)$

A _i olayının meydana gelme olasılığıdır.

Olasılık durumunda, örnek uzayın bir bölümünün, birleşimi örnek uzayı oluşturan, karşılıklı olarak uyumsuz olayların bir kümesi olarak tanımlandığını unutmayın.

➤ Bakınız: Örnek uzay

Toplam olasılık teoreminin somut örneği

Toplam olasılık teoreminin tanımını ve formülünün ne olduğunu gördükten sonra, anlamını daha iyi anlamak için bir olasılığın toplam olasılık teoremi ile nasıl hesaplandığı konusunda çözümlü bir alıştırma göreceğiz.

Bir elektronik mağazasında X, Y, Z olmak üzere üç marka televizyon satılmaktadır. Satışların %20’sinin marka televizyon, %4’ünün Z marka televizyon olduğu tahmin edilmektedir. televizyonlar arızalıdır. Arızalı bir TV satın alma olasılığı nedir?

Sorun ifadesi bize bir müşterinin her marka TV’yi satın alma olasılığını verir:

Olay A ₁ : Bir müşteri _bir televizyon markası satın alır
Olay A ₂ : Bir müşteri Y markalı bir televizyon alıyor → P(A ₂ )=0,50
Olay A ₃ : Bir müşteri bir televizyon markası satın alıyor Z → P(A ₃ )=0,30

Ek olarak, uygulama ifadesi bize her markanın televizyonunun arızalı olma olasılığını da veriyor:

Olay B: TV arızalı

B|A ₁ : X marka televizyon verildiğinde televizyon arızalıdır → P(B|A ₁ )=0,05
B|A ₂ : Y marka televizyon verildiğinde televizyon arızalıdır → P(B|A ₂ )=0,03
B|A ₃ : Z marka televizyon verildiğinde televizyon arızalıdır → P(B|A ₃ )=0,04

Buna göre problemin olasılık ağacı şu şekildedir:

Bu nedenle, arızalı bir TV satın alma olasılığını hesaplamak için toplam olasılık kuralı formülünü kullanmamız gerekir:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

Bizim durumumuzda örnek uzay üç olaydan (A ₁ , A ₂ ve A ₃ ) oluşur, dolayısıyla toplam olasılık teoreminin formülü aşağıdaki gibidir:

$\displaystyle P(B)=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)$

Dolayısıyla arızalı bir televizyon satın alma olasılığını bulmak için önceki ifadedeki olasılıkları yerine koymak yeterlidir:

$\begin{aligned} P(B)&=P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+P(B|A_3)\cdot P(A_3)\\[2ex]&=0,05\cdot 0,20+0,03\cdot 0,50+0,04\cdot 0,30\\[2ex]&=0,037\end{aligned}$

Sonuç olarak televizyon aldığımızda arızalı olma ihtimalimiz %3,7’dir.

Toplam olasılık teoremi ve Bayes teoremi

Toplam olasılık teoremi ve Bayes teoremi olasılık teorisindeki iki önemli teoremdir, çünkü özellikle koşullu olasılık değerlerinden olasılıkları hesaplamamıza izin verirler.

Bayes teoremi, bir olay hakkında önceden bilgi bilindiğinde, olayın olasılığını hesaplamak için kullanılan bir olasılık teorisi yasasıdır.

Spesifik olarak, toplam olasılık teoremi ve Bayes teoremi birbiriyle ilişkilidir, aslında Bayes teoremi formülünün paydası, toplam olasılık teoremi formülüne eşdeğerdir.

Bayes teoreminin ne olduğunu ve uygulama örneklerini görmek için aşağıdaki bağlantıya tıklayın:

➤ Bakınız: Bayes teoremi

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil