Toplam olasılık yasası: tanım ve örnekler
Olasılık teorisinde, toplam olasılık yasası, A olayının olasılığını doğrudan bilmediğimizde ancak B 1 , B 2 , B 3 … olaylarının bir bölüm oluşturduğunu bildiğimizde , bir A olayının olasılığını bulmanın yararlı bir yoludur. örnek uzayı S.
Bu yasa aşağıdakileri belirtir:
Toplam olasılık yasası
Eğer B 1 , B 2 , B 3 … örnek uzay S’nin bir bölümünü oluşturuyorsa, o zaman A olayının olasılığını aşağıdaki gibi hesaplayabiliriz:
P( Bir ) = ΣP( A | B ben )*P( B ben )
Bu yasayı anlamanın en kolay yolu basit bir örnek almaktır.
Bir kutuda aşağıdaki bilyelerin bulunduğu iki torba olduğunu varsayalım:
- Torba 1: 7 kırmızı bilye ve 3 yeşil bilye
- Torba 2: 2 kırmızı bilye ve 8 yeşil bilye
Torbalardan birini rastgele seçip, o torbadan rastgele bir bilye seçersek, bunun yeşil bilye olma olasılığı nedir?
Bu örnekte P( G ) = yeşil bilyeyi seçme olasılığı olsun. Bizi ilgilendiren olasılıktır ama doğrudan hesaplayamayız.
Bunun yerine, B i’nin S örnek uzayının bir bölümünü oluşturduğu bir B olayı verildiğinde, G’nin koşullu olasılığını kullanmamız gerekir. Bu örnekte, aşağıdaki koşullu olasılıklara sahibiz:
- P(G| B1 ) = 3/10 = 0,3
- P(G| B2 ) = 8/10 = 0,8
Toplam olasılık yasasını kullanarak yeşil bilye seçme olasılığını şu şekilde hesaplayabiliriz:
- P(G) = ΣP(G|B i )*P(B ben )
- P(G) = P(G|B 1 )*P(B 1 ) + P(G|B 2 )*P(B 2 )
- P(G) = (0,3)*(0,5) + (0,8)*(0,5)
- P(G) = 0,55
Torbalardan birini rastgele seçip o torbadan rastgele bir bilye seçersek yeşil bilye seçme olasılığımız 0,55 olur.
Toplam olasılık yasasına ilişkin anlayışınızı pekiştirmek için aşağıdaki iki örneği okuyun.
Örnek 1: Widget’lar
A Şirketi, bir otomobil atölyesine aletlerin %80’ini sağlıyor ve aletlerin yalnızca %1’i arızalı çıkıyor. B Şirketi, aletlerin geri kalan %20’sini oto tamirhanesine tedarik ediyor ve aletlerinin %3’ü arızalı çıkıyor.
Bir müşteri bir araba tamirhanesinden rastgele bir alet satın alırsa, bunun kusurlu olma olasılığı nedir?
P( D ) = bir aletin kusurlu olma olasılığını ve P(Bi ) aletin şirketlerden birinden gelme olasılığını kabul edersek, o zaman kusurlu bir aletin satın alınma olasılığını şu şekilde hesaplayabiliriz:
- P(D) = ΣP(D|B i )*P(B ben )
- P(D) = P(D|B 1 )*P(B 1 ) + P(D|B 2 )*P(B 2 )
- P(D) = (0,01)*(0,80) + (0,03)*(0,20)
- P(D) = 0,014
Bu otomobil mağazasından rastgele bir alet alırsak, kusurlu olma olasılığı 0,014’tür .
Örnek 2: Ormanlar
A Ormanı belirli bir parkın toplam alanının %50’sini kaplar ve bu ormandaki bitkilerin %20’si zehirlidir. B Ormanı toplam alanın %30’unu kaplar ve içerdiği bitkilerin %40’ı zehirlidir. Orman C, bölgenin kalan %20’sini kaplıyor ve orada bulunan bitkilerin %70’i zehirli.
Bu parka rastgele girsek ve yerden bir bitki seçsek, onun zehirli olma ihtimali ne kadardır?
P( P ) = bitkinin zehirli olma olasılığını ve P(B i ) üç ormandan birine girme olasılığını kabul edersek, rastgele seçilen bir bitkinin zehirli olma olasılığını şu şekilde hesaplayabiliriz:
- P(P) = ΣP(P|B i )*P(B ben )
- P(P) = P(P|B 1 )*P(B 1 ) + P(P|B 2 )*P(B 2 ) + P(P|B 3 )*P(B 3 )
- P(P) = (0,20)*(0,50) + (0,40)*(0,30) + (0,70)*(0,20)
- P(P) = 0,36
Bir bitkiyi yerden rastgele seçersek zehirli olma olasılığı 0,36’dır .
Ek kaynaklar
Aşağıdaki eğitimler olasılık konularıyla ilgili ek bilgi sağlar:
Olasılık dağılımının ortalaması nasıl bulunur?
Olasılık dağılımının standart sapması nasıl bulunur?
Olasılık Dağılımı Hesaplayıcısı
yazar hakkında
Dr.benjamin anderson
Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil