Weibull dağılımı

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 3, 2023 Olasılık 0 Yorum

Bu makalede Weibull dağılımının ne olduğu ve ne için kullanıldığı anlatılmaktadır. Ayrıca Weibull dağılımının grafiksel gösterimini ve bu tür olasılık dağılımının özelliklerinin neler olduğunu görebileceksiniz.

Weibull dağılımı nedir?

Weibull dağılımı iki karakteristik parametreyle tanımlanan sürekli bir olasılık dağılımıdır: şekil parametresi α ve ölçek parametresi λ.

İstatistiklerde Weibull dağılımı esas olarak hayatta kalma analizi için kullanılır. Aynı şekilde Weibull dağılımının da farklı alanlarda birçok uygulaması vardır. Aşağıda Weibull dağılımının kullanımına ilişkin ayrıntılara gireceğiz.

$X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)$

Yazarlara göre Weibull dağılımı üç parametreyle de parametrelendirilebilir. Daha sonra dağılım grafiğinin başladığı apsisi gösteren eşik değeri adı verilen üçüncü bir parametre eklenir.

Weibull dağılımı, adını 1951 yılında onu ayrıntılı olarak açıklayan İsveçli Waloddi Weibull’dan almıştır. Ancak Weibull dağılımı 1927 yılında Maurice Fréchet tarafından keşfedilmiş ve ilk olarak 1933 yılında Rosin ve Rammler tarafından uygulanmıştır.

Weibull dağılımının grafiğini çizme

Weibull dağılımının tanımını gördükten sonra, parametrelerinin değerlerine bağlı olarak grafiksel gösteriminin nasıl değiştiğini göreceğiz.

Aşağıda Weibull dağılımının yoğunluk fonksiyonu grafiğinin şekil parametresi ve ölçek parametresinin değerine bağlı olarak nasıl değiştiğine dair birkaç örnek görebilirsiniz.

Bir sistemin başarısızlık oranını zamanın bir fonksiyonu olarak modellemek için Weibull dağılımı kullanıldığında, şekil parametresi α’nın değeri şu anlama gelir:

α<1: başarısızlık oranı zamanla azalır.
α=1: başarısızlık oranı zaman içinde sabittir.
α>1: başarısızlık oranı zamanla artar.

Öte yandan aşağıdaki grafikte Weibull dağılımının karakteristik değerlerine göre çizilen kümülatif olasılık fonksiyonunu görebilirsiniz.

Weibull dağılımının özellikleri

Weibull dağılımı aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Weibull dağılımının grafiğini tanımlayan iki karakteristik parametresi vardır: şekil parametresi α ve ölçek parametresi λ. Her iki parametre de pozitif gerçek sayılardır.

$\begin{array}{c}\alpha >0\\[2ex]\lambda >0\\[2ex]\text{Weibull}(\alpha,\lambda)\end{array}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”92″ width=”101″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <ul> <li> Weibull dağılımı yalnızca pozitif abscissa değerlerini kabul eder.</li> </ul> <p class=$ $x\in (0,+\infty)$

Weibull dağılımının ortalaması aşağıdaki formülle hesaplanır:

$\displaystyle E[X]=\frac{1}{\lambda}\;\Gamma\left(1+\frac{1}{\alpha}\right)$

Öte yandan Weibull dağılımının varyansını bulma formülü şöyledir:

$\displaystyle Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{\alpha}\right)-\Gamma^2\left(1+\frac{1}{\alpha}\right)\right]$

α>1 Weibull dağılımını takip eden bir rastgele değişkenin modu aşağıdaki ifadeyle belirlenebilir:

$\displaystyle Mo=\frac{1}{\lambda}\left(\frac{\alpha-1}{\alpha} \right)^{\frac{1}{\alpha}} \quad \text{para } \alpha>1″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”50″ width=”257″ style=”vertical-align: -17px;”></p> </p> <ul> <li> Weibull dağılımının yoğunluk fonksiyonunun formülü şöyledir:</li> </ul> <p class=$ $\displaystyle P[X=x]=\lambda\alpha(\lambda x)^{\alpha-1}e^{-(\lambda x)^\alpha}$

Benzer şekilde Weibull dağılımının kümülatif olasılık fonksiyonu formülü şöyledir:

$\displaystyle P[X\leq x]=1- e^{-(\lambda x)^\alpha}$

Weibull dağılımının asimetri katsayısı aşağıdaki formül uygulanarak hesaplanır:

$\displaystyle A=\frac{\displaystyle\Gamma\left(1+\frac{3}{\alpha}\right)\frac{|}{\lambda^3}-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}$

Son olarak Weibull dağılımının basıklık katsayısının belirlenmesini mümkün kılan formül şu şekildedir:

$\displaystyle C=\frac{\displaystyle\frac{1}{\lambda^4}\Gamma \left(1+\frac{4}{\alpha}\right)-4\gamma_{1}\sigma^3\mu-6\mu^2\sigma^2-\mu^4}{\sigma^4}$

Altın

$\Gamma_i=\Gamma\left(1+\frac{i}{\alpha}\right).$

Weibull dağılımının uygulamaları

Weibull dağıtımının aşağıdakiler dahil birçok uygulaması vardır:

Uygulamalı istatistiklerde hayatta kalma analizinde Weibull dağılımı kullanılmaktadır.
Mühendislikte Weibull dağılımı, üretim süresiyle ilgili fonksiyonları modellemek için kullanılır.
Radar sistemlerinde alınan sinyalin dağılımını simüle etmek.
Sigorta sektöründe hasarların boyutunu modellemek.
Örneğin meteorolojide farklı rüzgar hızlarının frekansını modellemek için.

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil