Asimetri ve düzleşme

İle Dr.benjamin anderson Ağustos 4, 2023 İstatistik 0 Yorum

Bu makale istatistikte çarpıklık ve basıklığın ne olduğunu açıklamaktadır. Böylece, bu iki kavramın tanımını, çarpıklık ve basıklığın nasıl hesaplanacağını, formüllerinin neler olduğunu ve ayrıca herhangi bir veri örneğinin çarpıklık ve basıklığını hesaplamak için çevrimiçi bir hesap makinesi bulacaksınız.

Çarpıklık ve basıklık nedir?

Çarpıklık ve basıklık, bir dağılımın şeklini grafik çizmeye gerek kalmadan tanımlamak için kullanılan iki istatistiksel ölçüdür. Daha spesifik olarak çarpıklık, bir dağılımın simetri (veya çarpıklık) derecesini belirtirken basıklık, bir dağılımın ortalama etrafındaki konsantrasyon derecesini gösterir.

İstatistiklerde çarpıklık ve basıklığa şekil ölçüleri de denir.

👉Herhangi bir veri kümesinin çarpıklığını ve basıklığını hesaplamak için aşağıdaki çevrimiçi hesap makinesini kullanabilirsiniz.

Asimetri

İstatistiklerde çarpıklık , bir dağılımın ortalamasına göre simetri (veya asimetri) derecesini gösteren bir ölçüdür. Basitçe söylemek gerekirse çarpıklık, bir dağılımın simetri (veya asimetri) derecesini grafiksel olarak göstermeye gerek kalmadan belirlemek için kullanılan istatistiksel bir parametredir.

Dolayısıyla asimetrik bir dağılım, ortalamanın solunda, sağındakiyle karşılaştırıldığında farklı sayıda değere sahip olan dağılımdır. Öte yandan simetrik bir dağılımda ortalamanın solunda ve sağında aynı sayıda değer bulunur.

Böylece üç tür asimetriyi ayırt ediyoruz:

Pozitif asimetri : Dağılımın ortalamanın sağında soluna göre daha farklı değerleri vardır.
Simetri : Dağılım, ortalamanın solunda ve ortalamanın sağında aynı sayıda değere sahiptir.
Negatif çarpıklık : Dağılımın ortalamanın solunda sağına göre daha farklı değerleri vardır.

asimetri katsayısı

Çarpıklık katsayısı veya asimetri indeksi , bir dağılımın asimetrisini belirlemeye yardımcı olan istatistiksel bir katsayıdır. Böylece asimetri katsayısı hesaplanarak dağılımın grafiksel olarak gösterilmesine gerek kalmadan dağılımın ne tür bir asimetri sunduğunu bilmek mümkündür.

Asimetri katsayısını hesaplamak için farklı formüller olsa da ve aşağıda hepsini göreceğiz, kullanılan formül ne olursa olsun asimetri katsayısının yorumlanması her zaman şu şekilde yapılır:

Çarpıklık katsayısı pozitif ise dağılım pozitif çarpıktır .
Asimetri katsayısı sıfıra eşitse dağılım simetriktir .
Çarpıklık katsayısı negatif ise dağılım negatif çarpıktır .

Fisher’in asimetri katsayısı

Fisher’in çarpıklık katsayısı, ortalamaya göre üçüncü momentin numune standart sapmasına bölünmesine eşittir. Bu nedenle Fisher’in asimetri katsayısının formülü şöyledir:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

Eşdeğer olarak, Fisher katsayısını hesaplamak için aşağıdaki iki formülden herhangi biri kullanılabilir:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Altın

$E$

matematiksel beklenti,

$\mu$

aritmetik ortalama,

$\sigma$

standart sapma ve

$N$

toplam veri sayısı.

Öte yandan veriler gruplandırılmışsa aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Bu durumda nerede

$x_i$

Bu sınıf işaretidir ve

$f_i$

kursun mutlak sıklığı.

Pearson’un asimetri katsayısı

Pearson çarpıklık katsayısı, örnek ortalama ile mod arasındaki farkın standart sapmaya (veya standart sapmaya) bölünmesine eşittir. Pearson asimetri katsayısının formülü bu nedenle aşağıdaki gibidir:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Altın

$A_p$

Pearson katsayısıdır,

$\mu$

aritmetik ortalama,

$Mo$

moda ve

$\sigma$

Standart sapma.

Pearson çarpıklık katsayısının yalnızca tek modlu bir dağılım olması, yani verilerde yalnızca bir mod olması durumunda hesaplanabileceğini unutmayın.

Bowley’in asimetri katsayısı

Bowley’in çarpıklık katsayısı, üçüncü çeyrek artı birinci çeyrek eksi medyanın iki katının toplamının üçüncü ve birinci çeyrek arasındaki farka bölünmesine eşittir. Dolayısıyla bu asimetri katsayısının formülü aşağıdaki gibidir:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Altın

$Q_1$

$Q_3$

Bunlar sırasıyla birinci ve üçüncü çeyreklerdir ve

$Me$

dağılımın medyanıdır.

Düzleştirme

Çarpıklık olarak da adlandırılan basıklık , bir dağılımın ortalama etrafında ne kadar yoğunlaştığını gösterir. Başka bir deyişle basıklık, bir dağılımın dik mi yoksa düz mü olduğunu gösterir. Spesifik olarak, bir dağılımın basıklığı ne kadar büyük olursa, o kadar dik (veya daha keskin) olur.

Üç tür dalkavukluk vardır:

Leptokurtik : dağılım çok sivridir, yani veriler ortalamanın etrafında güçlü bir şekilde yoğunlaşmıştır. Daha doğrusu leptokurtik dağılımlar normal dağılıma göre daha keskin dağılımlar olarak tanımlanmaktadır.
Mezokurtik : Dağılımın basıklığı normal dağılımın basıklığına eşdeğerdir. Bu nedenle ne keskin ne de düz sayılır.
Platykurtic : dağılım çok düzdür, yani ortalamanın etrafındaki konsantrasyon düşüktür. Resmi olarak platikurtik dağılımlar normal dağılımdan daha düz olan dağılımlar olarak tanımlanır.

Farklı basıklık türlerinin normal dağılımın basıklığı referans alınarak tanımlandığına dikkat edin.

basıklık katsayısı

Basıklık katsayısının formülü aşağıdaki gibidir:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Frekans tablolarında gruplanan veriler için basıklık katsayısı formülü:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Son olarak aralıklara göre gruplandırılmış veriler için basıklık katsayısı formülü:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Altın:

$g_2$

basıklık katsayısıdır.
$N$

toplam veri sayısıdır.
$x_i$

serideki i’inci veri noktasıdır.
$\mu$

dağılımın aritmetik ortalamasıdır.
$\sigma$

dağılımın standart sapması (veya tipik sapması).
$f_i$

BT veri setinin mutlak frekansıdır.
$c_i$

i’inci grubun sınıf işaretidir.

Tüm basıklık katsayısı formüllerinde normal dağılımın basıklık değeri olduğundan 3’ün çıkarıldığını unutmayın. Böylece basıklık katsayısının hesaplanması normal dağılımın basıklığı referans alınarak yapılır. Bu nedenle bazen istatistiklerde aşırı basıklığın hesaplandığı söylenir.

Basıklık katsayısı hesaplandıktan sonra bunun ne tür basıklık olduğunun belirlenmesi için aşağıdaki şekilde yorumlanması gerekir:

Basıklık katsayısının pozitif olması dağılımın leptokurtik olduğu anlamına gelir.
Basıklık katsayısının sıfır olması dağılımın mezokurtik olduğu anlamına gelir.
Basıklık katsayısının negatif olması dağılımın platikurtik olduğu anlamına gelir.

Çarpıklık ve Basıklık Hesaplayıcısı

Çarpıklık ve basıklık katsayısını hesaplamak ve ayrıca ne tür bir dağılım olduğunu belirlemek için aşağıdaki hesap makinesine bir veri seti girin. Veriler bir boşlukla ayrılmalı ve ondalık ayırıcı olarak nokta kullanılarak girilmelidir.

Asimetri ve basıklık ne için kullanılır?

Son olarak istatistiklerde çarpıklık ve basıklığın ne için kullanıldığını ve bu iki tür istatistiksel parametrenin nasıl yorumlandığını göreceğiz.

Çarpıklık ve basıklık, olasılık dağılımının şeklini grafiksel olarak göstermeye gerek kalmadan tanımlamak için kullanılır. Yani çarpıklık ve basıklık, grafiği çizmeye gerek kalmadan ne tür bir dağılım olduğunu belirlemek için hesaplanır ve bu genellikle çok fazla zaman ve çaba gerektirir.

Ayrıca bir dağılımın eğrisini normal bir dağılımla karşılaştırmak için çarpıklık ve basıklık değerleri kullanılır. Çünkü benzer olmaları, incelenecek dağılımın normal dağılıma yakınlaştırılabileceği ve dolayısıyla çeşitli istatistiksel teoremlerin uygulanabileceği anlamına gelir.

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Merhaba, ben Benjamin, emekli bir istatistik profesörü ve Statorials öğretmenine dönüştüm. İstatistik alanındaki kapsamlı deneyimim ve uzmanlığımla, öğrencilerimi Statorials aracılığıyla güçlendirmek için bilgilerimi paylaşmaya can atıyorum. Daha fazlasını bil

Çarpıklık ve basıklık nedir?

Asimetri

asimetri katsayısı

Fisher’in asimetri katsayısı

Pearson’un asimetri katsayısı

Bowley’in asimetri katsayısı

Düzleştirme

basıklık katsayısı

Çarpıklık ve Basıklık Hesaplayıcısı

Asimetri ve basıklık ne için kullanılır?

yazar hakkında

Dr.benjamin anderson

Yorum ekle