Довірчий інтервал для різниці в пропорціях

за 3 Серпня, 2023 Статистика 0 коментарів

У цій статті пояснюється, що таке довірчий інтервал для різниці в пропорціях у статистиці та для чого він використовується. Ви також дізнаєтесь, як обчислити довірчий інтервал для різниці двох пропорцій, і поетапно розв’яжете вправу.

Який довірчий інтервал для різниці пропорцій?

Довірчий інтервал для різниці в пропорціях – це інтервал, який забезпечує діапазон прийнятних значень, між якими значення різниці між пропорціями двох сукупностей укладається з певним рівнем довіри.

Наприклад, якщо довірчий інтервал для різниці між пропорціями двох популяцій на 95% рівні довіри становить (0,07, 15), це означає, що різниця між двома пропорціями популяції становитиме від 7% до 15% з ймовірністю 95%.

Тому в статистиці довірчий інтервал для різниці в пропорціях використовується для оцінки двох значень, між якими пов’язується різниця між двома пропорціями населення. Тому збираються дві вибірки, і з цих даних можна приблизно оцінити різницю між пропорціями популяцій.

Формула довірчого інтервалу для різниці в пропорціях

Формула для розрахунку довірчого інтервалу для різниці пропорцій з довірчим рівнем 1-α виглядає наступним чином:

\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}

золото:

  • \widehat{p_i}

    є пропорцією зразка i.

  • n_i

    це розмір вибірки i.

  • Z_{\alpha/2}

    квантиль стандартного нормального розподілу, що відповідає ймовірності α/2. Для великих розмірів вибірки та 95% рівня довіри він зазвичай близький до 1,96, а для 99% рівня довіри він зазвичай близький до 2,576.

Конкретний приклад довірчого інтервалу для різниці в пропорціях

Ознайомившись із визначенням довірчого інтервалу для різниці в пропорціях і його формулою, ми побачимо конкретний приклад того, як обчислюється довірчий інтервал для різниці в пропорціях.

  • Ми хочемо провести статистичне дослідження частки ліворуких людей, точніше, ми хочемо знати різницю між частками ліворуких людей між чоловіками та жінками. Для цього береться вибірка з 60 чоловіків і 67 жінок, серед яких 5 чоловіків і 7 жінок є лівшами. Який довірчий інтервал для різниці в пропорціях при рівні довіри 95%?

Спочатку нам потрібно обчислити частку ліворуких людей для кожної статистичної вибірки:

\widehat{p_1}=\cfrac{5}{60}=0,083

\widehat{p_2}=\cfrac{7}{67}=0,104

Як ми бачили в розділі вище, формула для визначення довірчого інтервалу для різниці в пропорціях така:

\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}

Отже, щоб знайти довірчий інтервал для різниці пропорцій, нам потрібно визначити значення Z α /2. Для цього використовуємо стандартну таблицю нормального розподілу .

1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025

\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}

Нарешті, підставляємо дані у формулу і обчислюємо довірчий інтервал різниці пропорцій:

\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})\pm Z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p_1}(1-\widehat{p_1})}{n_1}+\frac{\widehat{p_2}(1-\widehat{p_2})}{n_2}}

\displaystyle (0,083-0,104)\pm 1,96\cdot \sqrt{\frac{0,083\cdot(1-0,083)}{60}+\frac{0,104\cdot(1-0,104)}{67}}

\displaystyle -0,021\pm 0,101

Коротше кажучи, довірчий інтервал для різниці в пропорціях проблеми:

(-0,122 \ , \ 0,08)

Про автора

Доктор Бенджамін Андерсон
Редакція

Привіт, я Бенджамін, професор статистики на пенсії, який став викладачем статистики. Маючи великий досвід і знання в галузі статистики, я готовий поділитися своїми знаннями, щоб розширити можливості студентів через Statorials. Дізнайтеся більше

Додати коментар

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *