4 реальних приклади експоненціального розподілу

Експоненціальний розподіл — це розподіл ймовірностей, який використовується для моделювання часу, який ми маємо чекати, поки не станеться певна подія.

Якщо випадкова величина X має експоненціальний розподіл, то кумулятивну функцію щільності X можна записати:

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

золото:

• λ: параметр швидкості (розраховується як λ = 1/μ)
• e: константа, яка приблизно дорівнює 2,718

У цій статті ми наведемо 5 прикладів експоненціального розподілу в реальному житті.

Приклад 1: Час між виверженнями гейзерів

Кількість хвилин між виверженнями певного гейзера можна змоделювати експоненціальним розподілом.

Наприклад, припустимо, що середня кількість хвилин між виверженнями певного гейзера становить 40 хвилин. Якщо вибухне гейзер, яка ймовірність того, що наступного виверження доведеться чекати менше 50 хвилин?

Щоб вирішити цю задачу, нам спочатку потрібно обчислити параметр швидкості:

• λ = 1/мк
• λ = 1/40
• λ = 0,025

Ми можемо підставити λ = 0,025 і x = 50 у формулу CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0,025(50)
• P(X ≤ 50) = 0,7135

Імовірність того, що наступного виверження доведеться чекати менше 50 хвилин, становить 0,7135 .

Приклад 2: Час між клієнтами

Кількість хвилин між клієнтами, які заходять у певний магазин, можна змоделювати експоненціальним розподілом.

Наприклад, припустимо, що новий клієнт заходить до магазину в середньому кожні дві хвилини. Після прибуття клієнта визначте ймовірність того, що новий клієнт прийде менш ніж за хвилину.

Щоб вирішити цю проблему, ми можемо почати з того, що знаємо, що середній час між клієнтами становить дві хвилини. Таким чином, ставку можна розрахувати наступним чином:

• λ = 1/мк
• λ = 1/2
• λ = 0,5

Ми можемо підставити λ = 0,5 і x = 1 у формулу CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,5(1)
• P(X ≤ 1) = 0,3935

Імовірність того, що нам доведеться чекати менше хвилини на прибуття наступного клієнта, становить 0,3935 .

Приклад 3: Час між землетрусами  

Час між землетрусами можна моделювати за допомогою експоненціального розподілу.

Наприклад, припустімо, що землетрус у певному регіоні відбувається в середньому кожні 400 днів. Після землетрусу визначте ймовірність того, що до наступного землетрусу пройде понад 500 днів.

Щоб вирішити цю проблему, ми починаємо з того, що знаємо, що середній час між землетрусами становить 400 днів. Таким чином, ставку можна розрахувати наступним чином:

• λ = 1/мк
• λ = 1/400
• λ = 0,0025

Ми можемо підключити λ = 0,0025 і x = 500 до формули CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0,7135

Імовірність того, що наступного землетрусу доведеться чекати менше 500 днів, становить 0,7135.

Таким чином, ймовірність того, що наступного землетрусу нам доведеться чекати понад 500 днів, становить 1 – 0,7135 = 0,2865 .

Приклад 4: час між дзвінками

Час між дзвінками клієнтів у різних компаніях можна моделювати за допомогою експоненціального розподілу.

Наприклад, припустімо, що банк отримує новий дзвінок у середньому кожні 10 хвилин. Після дзвінка клієнта визначте ймовірність того, що новий клієнт подзвонить протягом 10-15 хвилин.

Щоб вирішити цю проблему, ми починаємо з того, що знаємо, що середній час між дзвінками становить 10 хвилин. Таким чином, ставку можна розрахувати наступним чином:

• λ = 1/мк
• λ = 1/10
• λ = 0,1

Для розрахунку ймовірності того, що новий клієнт зателефонує протягом 10-15 хвилин, ми можемо використовувати таку формулу:

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0,1(15) ) – (1 – e ^-0,1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
• P(10 < X ≤ 15) = 0,1448

Імовірність того, що новий клієнт подзвонить протягом 10-15 хвилин. дорівнює 0,1448 .

Додаткові ресурси

У наступних статтях наведено приклади того, як інші розподіли ймовірностей використовуються в реальному світі:

6 конкретних прикладів нормального розподілу
5 конкретних прикладів біноміального розподілу
5 конкретних прикладів розподілу Пуассона
5 конкретних прикладів геометричного розподілу
5 конкретних прикладів рівномірного розподілу