Як знайти ймовірність «не менше двох» успіх

Ми можемо використати наступну загальну формулу, щоб знайти ймовірність принаймні двох успіхів у серії випробувань:

 P(at least two successes) = 1 - P(zero successes) - P(one success)

У наведеній вище формулі ми можемо обчислити кожну ймовірність за такою формулою для біноміального розподілу :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

золото:

• n: кількість випробувань
• k: кількість успіхів
• p: ймовірність успіху в даному випробуванні
• _n C _k : кількість способів отримати k успіхів у n випробуваннях

У наведених нижче прикладах показано, як використовувати цю формулу для визначення ймовірності «принаймні двох» успіхів у різних сценаріях.

Приклад 1: Штрафні кидки

Тай виконує 25% своїх спроб штрафних кидків. Якщо він виконує 5 штрафних кидків, знайдіть ймовірність того, що він зробить принаймні два.

Спочатку давайте обчислимо ймовірність того, що він зробить рівно нуль штрафних кидків або рівно один штрафний кидок:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

Далі підключимо ці значення до такої формули, щоб знайти ймовірність того, що Тай зробить принаймні два штрафних кидки:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,2372 – 0,3955
• P(X≥2) = 0,3673

Імовірність того, що Тай виконає принаймні два штрафних кидки за п’ять спроб, дорівнює 0,3673 .

Приклад 2: Віджети

На даній фабриці 2% усіх віджетів є несправними. У випадковій вибірці з 10 віджетів визначте ймовірність того, що принаймні два є несправними.

Спочатку обчислимо ймовірність того, що дефектним є рівно нуль або рівно одиниця:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

Далі підключимо ці значення до наступної формули, щоб знайти ймовірність того, що принаймні два віджети несправні:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,8171 – 0,1667
• P(X≥2) = 0,0162

Імовірність того, що принаймні два віджети є дефектними в цій випадковій вибірці з 10, становить 0,0162 .

Приклад 3: дрібниці

Боб правильно відповідає на 60% простих питань. Якщо ми поставимо йому 5 простих запитань, знайдіть ймовірність того, що він відповість принаймні на два правильних.

Спочатку давайте обчислимо ймовірність того, що він відповідає рівно нулю або рівно одиниці:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

Далі підключимо ці значення до наступної формули, щоб знайти ймовірність того, що він відповість принаймні на два запитання правильно:

• P(X≥2) = 1 – P(X=0) – P(X=1)
• P(X≥2) = 1 – 0,01024 – 0,0768
• P(X≥2) = 0,91296

Імовірність того, що він відповість правильно принаймні на два запитання з п’яти, становить 0,91296 .

Бонус: калькулятор ймовірності «принаймні два»

Використовуйте цей калькулятор, щоб автоматично знайти ймовірність «принаймні двох» успіхів на основі ймовірності успіху в певному випробуванні та загальної кількості випробувань.